Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=m°（m>90）,則BC、CD上分別找一點M、N，當△AMN周長最小時，∠AMN+∠ANM的度數是_______（用m來表示）.

Answer 1

【答案】360°-2m°.

【解析】

根據要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，利用三角形內角和定理即可得出∠AA′M+∠A″=180°-m°，進而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．

作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于

M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．
∵∠BAD=m°，
∴∠AA′M+∠A″=180°-∠BAD=180°-m°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×（180°-m°）=360°-2m°，

故答案為：360°-2m°.