【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N,點P在AB的延長線上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求證:直線CP是⊙O的切線;
(2)若BC=2 ,sin∠BCP= ,求⊙O的半徑及△ACP的周長.
【答案】
(1)證明:連接AN,
∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∵AC是⊙O的直徑,∴AN⊥BC,
∴∠CAN=∠BAN,BN=CN,
∵∠CAB=2∠BCP,
∴∠CAN=∠BCP.
∵∠CAN+∠ACN=90°,
∴∠BCP+∠ACN=90°,
∴CP⊥AC
∵OC是⊙O的半徑
∴CP是⊙O的切線
(2)解:∵∠ANC=90°,sin∠BCP= ,
∴ = ,
∴AC=5,
∴⊙O的半徑為
如圖,過點B作BD⊥AC于點D.
由(1)得BN=CN= BC= ,
在Rt△CAN中,AN= =2
在△CAN和△CBD中,
∠ANC=∠BDC=90°,∠ACN=∠BCD,
∴△CAN∽△CBD,
∴ = ,
∴BD=4.
在Rt△BCD中,CD= =2,
∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3,
∵BD∥CP,
∴ = , =
∴CP= ,BP=
∴△APC的周長是AC+PC+AP=20.
【解析】(1)由等角對等邊得AB=AC,連接AN,由圓周角定理及等角三角形的三線合一得出∠CAN=∠BCP.根據(jù)直角三角形兩銳角互余及等量代換得出∠BCP+∠ACN=90°,得出結(jié)論;(2)根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,找到圓的半徑,在Rt△CAN中根據(jù)勾股定理得出AN,進而判斷出△CAN∽△CBD,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出BD的長度,在Rt△BCD中由勾股定理得出CD,再由平行線分線段成比例得出CP,BP的長度。
【考點精析】利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角);直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解方程組:①②③④,比較適宜的方法是( )
A.①②用代入法,③④用加減法B.①③用代入法,②④用加減法
C.②③用代入法,①④用加減法D.②④用代入法,①③用加減法
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小蕓設(shè)計的“作三角形一邊上的高”的尺規(guī)作圖過程.
已知:△ABC.
求作:△ABC的邊BC上的高AD.
作法:①以點A為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,
交直線BC于點M,N;
②分別以點M,N為圓心,以大于MN的長為半徑畫弧,兩弧相交于點P;
③作直線AP交BC于點D,則線段AD即為所求△ABC的邊BC上的高.
根據(jù)小蕓設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明:
證明:∵AM= ,MP= ,
∴AP是線段MN的垂直平分線.( )(填推理的依據(jù))
∴AD⊥BC于D,即線段AD為△ABC的邊BC上的高.
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【題目】如圖所示,直線a 、b被直線c所截,現(xiàn)給出下列四種條件:
①∠2=∠6 ②∠2=∠8 ③∠1+∠4=180° ④∠3=∠8,其中能判斷是a∥b的條件的序號是( )
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④
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【題目】一般情況下,不成立,但有些數(shù)可以使得它成立,例如:a=1,b=2.我們稱使得成立的一對數(shù)a,b為“相伴數(shù)對”,記為(a,b).
(1)判斷數(shù)對(﹣2,1),(3,3)是否是“相伴數(shù)對”;
(2)若(k,﹣1)是“相伴數(shù)對”,求k的值;
(3)若(4,m)是“相伴數(shù)對”,求代數(shù)式的值.
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【題目】(10分)如圖,已知△ABC為等邊三角形,點D、E分別在BC、AC邊上,且AE=CD,AD與BE相交于點F。
(1)求證:△ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度數(shù)。
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【題目】△ABC與△A′B′C′在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖.
(1)分別寫出下列各點的坐標(biāo): A′ ;B′ ;C′ ;
(2)若點P(a,b)是△ABC內(nèi)部一點,則平移后△A′B′C′內(nèi)的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)為 ;
(3)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】五一期間,小明和小穎相約到樂山大佛景區(qū)參觀.小明乘私家車從成都出發(fā)1小時后,小穎乘坐高鐵從成都出發(fā),先到樂山高鐵站,然后轉(zhuǎn)乘出租車到樂山大佛景區(qū)(換車時間忽略不計),兩人恰好同時到達景區(qū).他們離開成都的距離y(千米)與時間t(小時)的關(guān)系如圖所示,請結(jié)合圖象解決下面問題.
(1)高鐵的平均速度是每小時多少千米?
(2)當(dāng)小穎到達樂山高鐵站時,小明距離樂山大佛景區(qū)還有多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ A B C與在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖.
(1)分別寫出下列各點的坐標(biāo): ______ ; _______ ; _______ ;
(2)說明由△ A B C經(jīng)過怎樣的平移得到? ________________________________.
(3)若點(, )是△ A B C內(nèi)部一點,則平移后內(nèi)的對應(yīng)點的坐標(biāo)為 ________ ;
(4)求△ A B C的面積..
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