Question

如圖，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，點P是底邊AC上的一個動點，M、N分別是AB、BC的中點，若PM+PN的最小值為6，則△ABC的周長為（　�。�

• A．12
• B．12+6

  3

• C．12十7

  3

• D．12+10

  3

Answer 1

分析：先確定P點的位置：過點M作AC的對稱點M′，連接M′N交AC于點P，此時PM+PN的值最小．根據(jù)求出M′N的長，根據(jù)PM+PN=6，得出PM=PN=3，運用三角函數(shù)求出MN=3

3

，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)分別求出AB、BC、AC的長，從而得到△ABC的周長．

解答：解：作M點關(guān)于AC的對稱點M′，連接M'N，則與AC的交點即是P點的位置．
∵M(jìn)，N分別是AB，BC的中點，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN∥AC，
∴

PM′

PN

=

KM′

KM

=1，
∴PM′=PN，
∵PM′=PM，
∴PM=PN，
∴P在MN的垂直平分線上，
∵BM=BN，
∴B在MN的垂直平分線上，
∵兩點確定一條直線，
∴BP垂直平分MN，
∵M(jìn)N∥AC，∴BP⊥AC，
又∵AB=AC，∴AP=PC．
即：當(dāng)PM+PN最小時P在AC的中點，
∵PM+PN=6，
∴PM=PN=3，MN=3

3

，
∴AC=6

3

，AB=BC=2PM=2PN=6，
∴△ABC的周長為：6+6+6

3

=12+6

3

．
故選B．

點評：本題考查等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)和軸對稱及三角函數(shù)等知識的綜合應(yīng)用．利用“兩點之間線段最短”正確確定P點的位置是解題的關(guān)鍵．