【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點O與原點重合,頂點A,C分別在x軸、y軸上,反比例函數(shù)y=(k0,x>0)的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M、N,連接OM、ON、MN.

(1)證明OCN≌△OAM;

(2)若NOM=45°,MN=2,求點C的坐標(biāo).

【答案】(1)略(2)(0,).

【解析】

試題分析:(1)由點M、N都在y=的圖象上,即可得出SONC=SOAM=|k|,再由正方形的性質(zhì)可得出OC=OA,OCN=OAM=90°,結(jié)合三角形的面積公式即可得出CN=AM,進(jìn)而即可證出OCN≌△OAM(SAS);

(2)將OAM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點M對應(yīng)M,點A對應(yīng)A,由旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)即可得出點A與點C重合,以及N、C、M共線,通過角的計算即可得出M'ON=MON=45°,結(jié)合OM=OM、ON=ON即可證出M'ON≌△MON(SAS),由此即可得出MN=MN=2,再由(1)OCN≌△OAM即可得出CN=AM,通過邊與邊之間的關(guān)系即可得出BM=BN,利用勾股定理即可得出BM=BN=,設(shè)OC=a,則MN=2CN=2(a),由此即可得出關(guān)于a的一元一次方程,解方程即可得出點C的坐標(biāo).

試題解析:(1)點M、N都在y=的圖象上,

SONC=SOAM=|k|.

四邊形ABCO為正方形,

OC=OA,OCN=OAM=90°,

OCCN=OAAM.

CN=AM.

OCN和OAM中,,

∴△OCN≌△OAM(SAS).

(2)將OAM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點M對應(yīng)M,點A對應(yīng)A,如圖所示.

OA=OC,

OA與OC重合,點A與點C重合.

∵∠OCM+OCN=180°,

N、C、M共線.

∵∠COA=90°,NOM=45°

∴∠CON+MOA=45°

∵△OAM旋轉(zhuǎn)得到OCM,

∴∠MOA=MOC,

∴∠CON+COM'=45°

∴∠M'ON=MON=45°

M'ON與MON中,

∴△M'ON≌△MON(SAS),

MN=M'N=2.

∵△OCN≌△OAM,

CN=AM.

BC=BA,

BN=BM.

B=90°,

BN2+BM2=MN2

BN=BM=

設(shè)OC=a,則CN=AM=a

∵△OAM旋轉(zhuǎn)得到OCM,

AM=CM'=a

M'N=2,

M'N=2,

2()=2,

解得:

C(0,).

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