Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2﹣2ax+b與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3OA，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)（其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P（2，3）或（，）；（3）存在，且Q1（1，0），Q2（2﹣，0），Q3（2+，0），Q4（﹣，0），Q5（，0）.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的解析式，可得到它的對(duì)稱(chēng)軸方程，進(jìn)而可根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)來(lái)確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，已知OC=3OA，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式．
（2）求出點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求出兩點(diǎn)間的距離與CD相比較可知，PC不可能與CD相等，因此要分兩種情況討論：
①CD=PD，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)滿(mǎn)足P點(diǎn)的要求，坐標(biāo)易求得；
②PD=PC，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PC、PD的長(zhǎng)，根據(jù)它們的等量關(guān)系列式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）此題要分三種情況討論：
①點(diǎn)Q是直角頂點(diǎn)，那么點(diǎn)Q必為拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，由此求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②M、N在x軸上方，且以N為直角頂點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知MN正好等于拋物線對(duì)稱(chēng)軸到N點(diǎn)距離的2倍，而△MNQ是等腰直角三角形，則QN=MN，由此可表示出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線的解析式，即可得到關(guān)于N點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，從而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性知：Q關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也符合題意；
③M、N在x軸下方，且以N為直角頂點(diǎn)時(shí)，方法同②．

（1）由y=ax2﹣2ax+b可得拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=1，由B（3，0）可得A（﹣1，0）；

∵OC=3OA，

∴C（0，3）；

依題意有：，

解得；

∴y=﹣x2+2x+3．

（2）存在．①DC=DP時(shí)，由C點(diǎn)（0，3）和x=1可得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P（2，3）；

設(shè)P2（x，y），

∵C（0，3），P（2，3），

∴CP=2，

∵D（1，4），

∴CD=＜2，

②由①此時(shí)CD⊥PD，

根據(jù)垂線段最短可得，PC不可能與CD相等；

②PC=PD時(shí)，∵CP22=（3﹣y）2+x2，DP22=（x﹣1）2+（4﹣y）2

∴（3﹣y）2+x2=（x﹣1）2+（4﹣y）2

將y=﹣x2+2x+3代入可得：，

∴；

∴P2（，）．

綜上所述，P（2，3）或（，）．

（3）存在，且Q1（1，0），Q2（2﹣，0），Q3（2+，0），Q4（﹣，0），Q5（，0）；

①若Q是直角頂點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可直接得Q1（1，0）；

②若N是直角頂點(diǎn)，且M、N在x軸上方時(shí)；

設(shè)Q2（x，0）（x＜1），

∴MN=2Q1O2=2（1﹣x），

∵△Q2MN為等腰直角三角形；

∴y=2（1﹣x）即﹣x2+2x+3=2（1﹣x）；

∵x＜1，

∴Q2（，0）；

由對(duì)稱(chēng)性可得Q3（，0）；

③若N是直角頂點(diǎn)，且M、N在x軸下方時(shí)；

同理設(shè)Q4（x，y），（x＜1）

∴Q1Q4=1﹣x，而Q4N=2（Q1Q4），

∵y為負(fù)，

∴﹣y=2（1﹣x），

∴﹣（﹣x2+2x+3）=2（1﹣x），

∵x＜1，

∴x=﹣，

∴Q4（，0）；

由對(duì)稱(chēng)性可得Q5（+2，0）．