Question

已知拋物線y=x²+mx-

1

4

m²（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求證：拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)；
（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)C，若∠ACB=90°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）證明拋物線的對(duì)稱軸-

b

2a

＜0即可證明拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)；
（2）先設(shè)出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，0），B（x₂，0），根據(jù)的x₁與x₂關(guān)系確定x₁，x₂異號(hào)，再設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用射影定理可得CO²=AO•BO，進(jìn)而得到關(guān)于m的方程，解可得答案．

解答：解：（1）證明：∵m＞0，
∴x=-

b

2a

=-

m

2

＜0，
∴拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)；

（2）設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=-m＜0，x₁•x₂=-

1

4

m²＜0，
∴x₁，x₂異號(hào)，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-

1

4

m2，
∴拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，-

1

4

m2），
∴OC=

1

4

m2，OA•OB=-x₁•x₂=

1

4

m2，
∵∠ACB=90°，AC⊥AB，
∴CO²=AO•BO，
∴（

1

4

m2）²=

1

4

m2，
解得：m=±2，
∵m＞0，
∴m=2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，題目難度不大，綜合性較強(qiáng)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用．