Question

（15分）如圖所示，過點F（0，1）的直線y＝kx＋b與拋物線 交于M（x₁，
y₁）和N（x₂，y₂）兩點（其中x₁＜0，x₂＜0）．
（1）求b的值．
（2）求x₁•x₂的值
（3）分別過M、N作直線l：y＝－1的垂線，垂足分別是M₁、N₁，判斷△M₁FN₁的形狀，
并證明你的結論．
（4）對于過點F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相
切．如果有，請求出這條直線m的解析式；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）把點F（0，1）坐標代入y=kx＋b中得b="1.       " ……（3分）
（2）由y=x²和y=kx＋1得x²-kx-1=0化簡得
x₁=2k-2    x₂=2k＋2  x₁·x₂="-4              " ……（6分）
（3）△M₁FN₁是直角三角形（F點是直角頂點）.理由如下：設直線l與y軸的交點是F₁
FM₁²=FF₁²+M₁F₁²=x₁²＋4    FN₁²=FF₁²＋F₁N₁²=x₂²＋4
M₁N₁²=（x₁-x₂）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=x₁²+x₂²+8
∴FM₁²+FN₁²=M₁N₁²∴△M₁FN₁是以F點為直角頂點的直角三角形.    ……（10分）
（4）符合條件的定直線m即為直線l：y=-1.
過M作MH⊥NN₁于H，MN²=MH²+NH²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²+［（kx₁+1）-(kx₂+1)］²=（x₁-x₂）²+k²（x₁-x₂）²=(k²+1)（x₁-x₂）²=(k²+1)(4）²=16（k²+1)² 
∴MN=4(k²+1)
分別取MN和M₁N₁的中點P，P₁，
PP₁=（MM₁+NN₁）= (y₁+1+y₂+1)= （y₁+y₂）+1=k(x₁+x₁)+2=2k²+2=2(k²+1)     ∴PP₁=MN
即線段MN的中點到直線l的距離等于MN長度的一半.
∴以MN為直徑的圓與l相切.    ……（15分）

解析