Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點(diǎn)P從PB處開始順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，PM交邊AB于點(diǎn)E，PN交邊AD于點(diǎn)F，當(dāng)PE旋轉(zhuǎn)至PA處時(shí)，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止.

（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，PN也經(jīng)過點(diǎn)D，求證：△ABP ∽△PCD

（2）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由

（3）設(shè)AE，連結(jié)EF，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為何值時(shí)，△BPE與△PEF相似.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的值是定值，該定值為 ；（3）當(dāng)或時(shí)，△BPE與△PEF相似

【解析】

（1）因?yàn)樵诰匦沃�，所以只要再證明∠BAP=∠CPD即可；（2）證明邊比為定值，考慮相似三角形，過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，創(chuàng)造△PGF并證明其與△EBP 相似；（3）使△BPE ∽△PFE，那么，算出m值，反證相似.

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴∠B=∠C=90°

∴∠BAP+∠BPA=90°

∵∠MPN=90°

∴∠CPD+∠BPA=90°

∴∠BAP=∠CPD

∴△ABP ∽△PCD

（2）過點(diǎn)F作FG⊥BC于G

∴∠FGP=90°

∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90°

易知四邊形ABGF是矩形，

∴FG=AB=2

∵∠MPN=90°

∴∠EPB+∠FPG=90°

∴∠EPB=∠FPG

∴△EBP ∽△PGF

∴

∴的值是定值，該定值為

（3）∵AE

∴BE

①當(dāng)時(shí)，

∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE ∽△PFE

∴

∴

∴

②當(dāng)時(shí)，

∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE ∽△PEF

∴

∴

∴

綜上，當(dāng)或時(shí)，△BPE與△PEF相似.