Question

如圖，在⊙M中，弧AB所對(duì)的圓心角為120°，已知⊙M的半徑為2cm，并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
（1）求圓心M的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；
（3）點(diǎn)D是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ACBD的最大面積．

Answer 1

分析：（1）連接MA，MB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知∠AMO=

1

2

AMB=60°，由直角三角形的性質(zhì)可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)△AOM與△BOM是直角三角形，∠AMO=∠BMO=60°，可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故此拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)此特點(diǎn)可設(shè)出拋物線(xiàn)的解析式，把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出未知數(shù)的值，從而求出其解析式．
（3）因?yàn)樗倪呅蜛CBD的面積等于△ABC與△ABD的面積之和，而△ABC的面積為定值，△ABD的底邊長(zhǎng)為定值，故當(dāng)△ABD的高最長(zhǎng)時(shí)四邊形的面積最大．根據(jù)直徑是最長(zhǎng)的弦可知當(dāng)D在y軸上時(shí)△ABD的高最長(zhǎng)．根據(jù)三角形的面積公式及圓的半徑長(zhǎng)可計(jì)算出四邊形的面積．

解答：解：（1）連MA，MB，
∵M(jìn)A=MB OM⊥AB∠AMB=120°
∴∠BMO=

1

2

∠AMB=60°
∴∠OBM=30°  2分
∴OM=

1

2

MB=1  1分
∴M（0，1）1分

（2）∵OC=MC-MO=1  OB=

MB2-OM2

=

3

∴C（0，-1）B（

3

，O）  2分
∵經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
∴設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+c  1分
把C（0，-1）和（

3

，0）分別代入上式
得：a=

1

3

，c=-1   1分
∴y=

1

3

x²-1．   1分

（3）∵S_{四邊形ACBD=}S_△ABC+S_△ABD，又S_△ABC與AB均為定值1分
∴當(dāng)△ABD邊上的高最大時(shí)，S_△ABD最大，
此時(shí)點(diǎn)D為⊙M與y軸交點(diǎn)，由于⊙M的半徑為2cm，OM=1cm
∴OD=3cm，
此時(shí)S_{四邊形ACBD=}S_△ABC+S_△ABD=

1

2

×2

3

×1+

1

2

×2

3

×3=

3

+3

3

=4

3

cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，比較復(fù)雜，但難度適中．