Question

【題目】已知二次函數y=kx2+2（k﹣3）x+（k﹣3）的圖象開口向上，且k為整數，且該拋物線與x軸有兩個交點（a，0）和（b，0）．一次函數y1=（k﹣2）x+m與反比例函數y2= 的圖象都經過（a，b）．
（1）求k的值；
（2）求一次函數和反比例函數的解析式，并直接寫出y1＞y2時，x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，拋物線與x軸有兩個交點，

令y=0，即kx2+2（k﹣3）x+（k﹣3）=0，

則△=4（k﹣3）2﹣4k（k﹣3）＞0，

解得，k＜3，

∵二次函數的圖象開口向上，故k＞0，

又∵k為整數，k﹣2≠0，

∴k=1；

（2）解：由（1）得，y=x2﹣4x﹣2，

令x2﹣4x﹣2=0得x=2+ 或x=2﹣ ，

∴a+b=4，ab=﹣2，

把（a，b）代入y1=﹣x+m， 得，m=a+b=4，n=ab=﹣2

∴一次函數的表達式為y1=﹣x+4，

∴反比例函數的表達式為y2=﹣ ，

當y1＞y2時，x＜2﹣ 或0＜x＜2+

【解析】（1）由拋物線與x軸有兩個交點得出△=4（k﹣3）2﹣4k（k﹣3）＞0，解得，k＜3，又二次函數的圖象開口向上，故k＞0，又k為整數，k﹣2≠0，從而得出K=1 ；
（2）首先利用拋物線與x軸的交點得出其交點的橫坐標，進而求出a+b=4，ab=﹣2，然后求出m,n的值，從而得出一次函數及反比例函數的解析式，畫出草圖，根據圖像要當y1＞y2時，自變量的值，主要能清楚誰大誰小，誰大就寫誰的圖像在上方時的自變量的取值即可。