Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)F為對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)E是二次函數(shù)第四象限圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)D，求四邊形AEBD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）點(diǎn)P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）最大值為 ，E（，﹣）．

【解析】

（1）用交點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）分當(dāng)AB為平行四邊形一條邊、對(duì)角線，兩種情況，分別求解即可；

（3）利用S四邊形AEBD＝AB（yD﹣yE），即可求解．

解：（1）用交點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；

故二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3；

（2）①當(dāng)AB為平行四邊形一條邊時(shí)，如圖1，

則AB＝PE＝2，

則點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，3），

當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，即點(diǎn)C的位置，點(diǎn)A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

故：點(diǎn)P（4，3）或（0，3）；

②當(dāng)AB是四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖2，

AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為2，其中點(diǎn)坐標(biāo)為： ，

即：＝2，解得：m＝2，

故點(diǎn)P（2，﹣1）；

故：點(diǎn)P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；

（3）直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，x2﹣4x+3），則點(diǎn)D（x，﹣x+3），

S四邊形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，

∵﹣1＜0，故四邊形AEBD面積有最大值，

當(dāng)x＝，其最大值為，此時(shí)點(diǎn)E（，﹣）．