【題目】如圖,在RtABC中,點(diǎn)O在斜邊AB上,以O為圓心,OB為半徑作圓,分別與BC、AB相交于點(diǎn)D、E,連接AD,已知∠CAD=∠B.

1)求證:AD是⊙O的切線;

2)若∠B30°,AC,求劣弧BD與弦BD所圍陰影圖形的面積;

3)若AC4,BD6,求AE的長(zhǎng).

【答案】1)見(jiàn)解析;(2;(3

【解析】

1)連接OD,由OD=OB,利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等,再由已知角相等,等量代換得到∠1=3,求出∠490°,即可證AD是⊙O的切線;

2)連接OD,作OFBDF,由直角三角形的性質(zhì)得出CDAC1,BCAC3, AC=3,得出BD=BC-CD=2,由直角三角形的性質(zhì)得出DFBFBD1OFBF,得出OB2OF,由扇形面積公式和三角形面積公式即可得出結(jié)果;(3)證明△ACD∽△BCA,得出,求出CD=2,由勾股定理得出AD,求出AB=4,在RtAOD中,AD2 +OD2 =OA2,設(shè)⊙O的半徑為x,則OA=4-x,解關(guān)于x的方程,BE=2x,求出BE后,根據(jù)AE=AB-BE,直接計(jì)算AE的長(zhǎng)即可;

1)證明:連接OD,如圖1所示:

OBOD,

∴∠3=∠B,

∵∠B=∠1,

∴∠1=∠3,

RtACD中,∠1+290°

∴∠4180°﹣(∠2+3)=90°,

ODAD

AD為⊙O的切線;

2)解:連接OD,作OFBDF,如圖2所示:

OBOD,∠B30°,∴∠ODB=∠B30°,

∴∠DOB120°

∵∠C90°,∠CAD=∠B30°

CDAC1,BCAC3,

BDBCCD2,

OFBD,

DFBFBD1,OFBF

OB2OF,

∴劣弧BD與弦BD所圍陰影部分的面積=扇形ODB的面積﹣ODB的面積=

3)解:∵∠CAD=∠B,∠C=∠C,

∴△ACD∽△BCA,

AC2CD×BCCDCD+BD),

42CDCD+6),

解得:CD2,或CD=﹣8(舍去),

CD2,

AD,

,

,

AB4

ODAD,

∴在RtAOD中,AD2 +OD2 =OA2,

∴設(shè)⊙O的半徑為x,則OA=4-x,

(2) 2+x2=(4-x) 2,

,

AE=AB-BE=4-3=

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在RtABC中,∠ACB90°AC3,BC4,點(diǎn)DAB邊上一點(diǎn),且AD1,點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),以CPDP為鄰邊作CPDE.設(shè)CPDE和△ABC重疊部分圖形的面積為S(平方單位),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)(t0

1)連結(jié)CD,求CD的長(zhǎng);

2)當(dāng)CPDE為菱形時(shí),求t的值;

3)求St之間的函數(shù)關(guān)系式;

4)將線段CD沿直線CE翻折得到線段C′D′.當(dāng)點(diǎn)D′落在△ABC的邊上時(shí),直接寫(xiě)出t的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】 如圖,點(diǎn)E、F分別為正方形ABCD的邊BCCD上一點(diǎn),ACBD交于點(diǎn)O,且∠EAF45°,AEAF分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M,N,則有以下結(jié)論:①AOM∽△ADF;②EFBE+DF;③∠AEB=∠AEF=∠ANM;④SAEF2SAMN,以上結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)有( )個(gè).

A. 1B. 2C. 3D. 4

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知⊙O的半徑為5,弦AB,CD所對(duì)的圓心角分別是∠AOB,∠COD,下列說(shuō)法正確的是( )①若∠AOB=∠COD,則CDAB;②若CDAB,則CDAB所對(duì)的弧相等;③若CDAB,則點(diǎn)OCD,AB的距離相等;④若∠AOB+∠COD180°,且CD6,則AB8

A.①②③④B.①③④C.①②④D.③④

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知:△ABC與△ABD中,∠CAB=∠DBAβ,且∠ADB+∠ACB180°

提出問(wèn)題:如圖1,當(dāng)∠ADB=∠ACB90°時(shí),求證:ADBC

類比探究:如圖2,當(dāng)∠ADB≠ACB時(shí),ADBC是否還成立?并說(shuō)明理由.

綜合運(yùn)用:如圖3,當(dāng)β18°,BC1,且ABBC時(shí),求AC的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知C3,4),以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切.點(diǎn)A、Bx軸上,且OAOB.點(diǎn)P為⊙C上的動(dòng)點(diǎn),∠APB90°,則AB長(zhǎng)度的最大值為_____

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線yax2+3b+1x+b3a0),若存在實(shí)數(shù)m,使得點(diǎn)Pm,m)在該拋物線上,我們稱點(diǎn)Pmm)是這個(gè)拋物線上的一個(gè)和諧點(diǎn)

1)當(dāng)a2,b1時(shí),求該拋物線的和諧點(diǎn);

2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)b,拋物線上恒有兩個(gè)不同的和諧點(diǎn)A、B

求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

若點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=﹣x﹣(+1)對(duì)稱,求實(shí)數(shù)b的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)在第一象限,,點(diǎn)上一點(diǎn),,

1)求證:;

2)求的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,矩形ABCD中,EBC的中點(diǎn),將ABE沿直線AE折疊時(shí)點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,連接FC,若∠DAF18°,則∠DCF_____度.

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