Question

已知一次函數(shù)y=kx+b與雙曲線y=

4

x

在第一象限交于A、B兩點，A點橫坐標(biāo)為1．B點橫坐標(biāo)為4．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象指出不等式kx+b＞

4

x

的解集；
（3）點P是x軸正半軸上一個動點，過P點作x軸的垂線分別交直線和雙曲線于M、N，設(shè)P點的橫坐標(biāo)是t（t＞0），△OMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）反比例函數(shù)的解析式已知，把A、B坐標(biāo)代入就能求得完整的坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式即可求得k，b的值；
（2）實際是求一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值時，x的取值．應(yīng)從兩個函數(shù)的交點入手觀察；
（3）應(yīng)從兩個交點的橫坐標(biāo)入手，分3種情況表示出△OMN的面積進(jìn)行探討．

解答：解：（1）將A點橫坐標(biāo)為1、B點橫坐標(biāo)為4分別代入雙曲線y=

4

x

中，可得A（1，4），B（4，1）；
再將A、B兩點分別代入一次函數(shù)y=kx+b中，解得：k=-1，b=5；
∴一次函數(shù)的解析式為：y=-x+5（3分）；

（2）從兩個函數(shù)圖象的交點看，x的取值在兩個交點A、B之間時，一次函數(shù)的函數(shù)值才大于反比例函數(shù)的函數(shù)值，
∴1＜x＜4或x＜0（3分）；

（3）①0＜t＜1時，S=

1

2

t[

4

x

-（-t+5）]=

1

2

t2-

5

2

t+2，
②1＜t＜4時，S=

1

2

t[（-t+5）-

4

x

]=-

1

2

t2+

5

2

t-2，
③4＜t時，S=

1

2

t[

4

x

-（-t+5）]=

1

2

t2-

5

2

t+2．

點評：求一次函數(shù)的解析式需知道它上面的兩個點的坐標(biāo)；比較兩個函數(shù)值的大小，應(yīng)從交點坐標(biāo)的入手觀察．