【題目】如圖,在RtABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,點DBC的中點,點E是邊AB上一動點,沿DE所在直線把BDE翻折到B′DE的位置,B′DAB于點F.若AB′F為直角三角形,則AE的長為__________

【答案】3或

【解析】

△AB′F為直角三角形,應分兩種情況進行討論.當∠AFB′為直角時,利用勾股定理求出B′E,也就是BE的長,便求出AE。當∠AB′F為直角時,過AANEB′,交EB′的延長線于N,構造Rt△B′EF,利用勾股定理便可求出AE.

解:B′D⊥AE,△AB′F為直角三角形,如下圖:

根據(jù)題意,BE=B′E,BD= B′D=BC=.B=EB′F

∵在RtABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2

∴AB===4

∴∠B=EB′F =30°.

Rt△BDF,B=30°

DF=BD=

B′F=B′D-DF=-=

Rt△B′EF,EB′F =30°

EF=B′E,

∵B′F===EF,

=EF,

EF=,則BE=1,

AE=AB-BE=4-1=3.

D B′A B′時,△AB′F為直角三角形,如下圖:

連接AD,AANEB′,交EB′的延長線于N.

根據(jù)題意,BE=B′E,BD=CD=B′D=BC=.B=EB′F

∵在RtABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2

∴AB===4

∴∠B=EB′F =30°.

∵∠AB′F=90°

∴∠AB′E=AB′F+EB′F=120°

∴Rt△AB′N中,∠AB′N=60°,∠B′AN=30°

B′N=AB′

RtAB′DRtACD

RtAB′DRtACD(HL)

AB′=AC=2

B′N=1,AN=

AE=x,BE= B′E=4-x

Rt△AEN

∴()2+(4-x+1)2=x2

∴x=

綜上,AE的長為3或.

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