【題目】已知:如圖,在RtABC中,∠C90°,AC8cm,BC6cm,點PB出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動,速度為1cm/s;點QA出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動,速度為2cm/s;連接PQ.若設(shè)運動的時間為ts)(0t4),解答下列問題:

1)當t為何值時,PQBC

2)設(shè)△AQP的面積為ycm2),求yt之間的函數(shù)關(guān)系式;

3)是否存在某一時刻t,使線段PQ恰好把RtACB的周長和面積同時平分?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由;

4)如圖,連接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四邊形PQPC,那么是否存在某一時刻t,使四邊形PQPC為菱形?若存在,求出此時菱形的邊長;若不存在,說明理由.

【答案】(1);(2)y=﹣t2+6t.(3)不存在t的值使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分;(4)ts

【解析】

1)只要證明△APQ∽△ABC,可得=,構(gòu)建方程即可解決問題;(2)過點PPEACE,則有△APE∽△ABC,由相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問題;(3)由題意可求RtACB的周長和面積,當線段PQ恰好把RtACB的周長平分,可得AP+AQ×2412,可求t的值,代入yt之間的函數(shù)關(guān)系式,可求出y12,則不存在t的值使線段PQ恰好把RtACB的周長和面積同時平分;(4)連接P'PAC于點O,由△APO∽△ABC,可得=,即=,可得AO,由菱形的性質(zhì)可得OQOC,構(gòu)建方程即可解決問題.

解:(1)在RtABC中,AB 10cm),

∵點PB出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動,速度為1cm/s;點QA出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動,速度為2cm/s;

BPt,AQ2t,則AP10t,

PQBC,

∴△APQ∽△ABC,

=

=

t

∴當ts時,PQBC

2)如圖,過點PPEAC于點E

PEAC,BCAC

PEBC,

∴△APE∽△ABC,

=,

=

PE6t,

y×2t×6t)=﹣t2+6t

3)∵∠C90°AC8cm,BC6cmAC10cm,

∴△ABC的周長為24cmABC的面積為24cm2,

∵線段PQ恰好把RtACB的周長平分,

AP+AQ×2412

10t+2t12

t2,

t2時,y=﹣×4+12≠×24,

∴不存在t的值使線段PQ恰好把RtACB的周長和面積同時平分.

4)如圖,連接P'PAC于點O,

∵四邊形PQP′C為菱形

POAC,OQOC,

POBC,

∴△APO∽△ABC

=,,

=,,

AO ,

OQOC,

AOAQACAO,

2t8,

t

∴當ts時,四邊形PQP′C為菱形.

練習冊系列答案
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2)圖1中甲種剪法稱為第1次剪取,記所得正方形面積為s1;按照甲種剪法,在余下的△ADE△BDF中,分別剪取正方形,得到兩個相同的正方形,稱為第2次剪取,并記這兩個正方形面積和為s2(如圖2),則s2=;再在余下的四個三角形中,用同樣方法分別剪取正方形,得到四個相同的正方形,稱為第3次剪取,并記這四個正方形面積和為s3,繼續(xù)操作下去,則第10次剪取時,s10=

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(1)如圖2,給定銳角三角形ABC,畫出所有長寬比為21的長方形DEFG,使D,E位于邊BC上,F,G分別位于邊AC,AB上.

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