【題目】如圖,已知△ABC是等邊三角形,D、E分別在邊BC、AC上,且CD=CE,連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使EF=AE,連接AF、BE和CF.
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形,用符號(hào)“≌”表示,并加以證明;
(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形,并說(shuō)明理由;
(3)若AB=6,BD=2DC,求四邊形ABEF的面積.
【答案】
(1)
【解答】△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF
(選證一)△BDE≌△FEC.
證明:∵△ABC是等邊三角形,
∴BC=AC,∠ACB=60°.
∵CD=CE,
∴△EDC是等邊三角形.
∴DE=EC,∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°.
又∵EF=AE,
∴BD=FE.
∴△BDE≌△FEC.
(選證二)△BCE≌△FDC.
證明:∵△ABC是等邊三角形,
∴BC=AC,∠ACB=60°.
又∵CD=CE,
∴△EDC是等邊三角形.
∴∠BCE=∠FDC=60°,DE=CE.
∵EF=AE,
∴EF+DE=AE+CE.
∴FD=AC=BC.
∴△BCE≌△FDC.
(選證三)△ABE≌△ACF.
證明:∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=60°.
∵CD=CE,∴△EDC是等邊三角形.
∴∠AEF=∠CED=60°.
∵EF=AE,△AEF是等邊三角形.
∴AE=AF,∠EAF=60°.
∴△ABE≌△ACF.
(2)
【解答】四邊形ABDF是平行四邊形.
理由:由(1)知,△ABC、△EDC、△AEF都是等邊三角形.
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°.
∴AB∥DF,BD∥AF.
∴四邊形ABDF是平行四邊形.
(3)
【解答】由(2)知,四邊形ABDF是平行四邊形.
∴EF∥AB,EF≠AB.
∴四邊形ABEF是梯形.
過(guò)E作EG⊥AB于G,則EG=.
∴ S四邊形ABEF
.
【解析】(1)從圖上及已知條件容易看出△BDE≌△FEC,△BCE≌△FDC,△ABE≌△ACF.判定兩個(gè)三角形全等時(shí),必須有邊的參與,所以此題的關(guān)鍵是找出相等的邊.(2)由(1)的結(jié)論容易證明AB∥DF,BD∥AF,兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.(3)EF∥AB,EF≠AB,四邊形ABEF是梯形,只要求出此梯形的面積即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解平行四邊形的判定(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,一元二次方程x2﹣8x+15=0的兩根分別是⊙O1和⊙O2的半徑,當(dāng)⊙O1和⊙O2相切時(shí),O1O2的長(zhǎng)度是( )
A.2
B.8
C.2或8
D.2<O1O2<8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,E是BC邊的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng),交AB的延長(zhǎng)線于F點(diǎn),CD∥AF,請(qǐng)你添加一個(gè)條件:使四邊形ABCD是平行四邊形。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AD邊的中點(diǎn),BE⊥AC,垂足為點(diǎn)F,連接DF,分析下列四個(gè)結(jié)論:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=.其中正確的結(jié)論有( )
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們給出如下定義:若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線相等,則稱這個(gè)四邊形為等對(duì)角線四邊形.請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)寫(xiě)出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)角線四邊形的兩種圖形的名稱;
(2)探究:當(dāng)?shù)葘?duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60°時(shí),這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和與其中一條對(duì)角線的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A(4,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是線段OA上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)O,A),過(guò)P,O兩點(diǎn)的二次函數(shù)y1和過(guò)P,A兩點(diǎn)的二次函數(shù)y2的圖象開(kāi)口均向下,它們的頂點(diǎn)分別為B,C,射線OB與AC相交于點(diǎn)D.當(dāng)OD=AD=3時(shí),這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之和為_____.
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【題目】如圖,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)給出了四種表示該長(zhǎng)方形面積的多項(xiàng)式:
①(2a+b)(m+n);②2a(m+n)+b(m+n);③m(2a+b)+n(2a+b);④2am+2an+bm+bn,你認(rèn)為其中正確的有( )
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市某超市舉行店慶活動(dòng),對(duì)甲、乙兩種商品實(shí)行打折銷售,打折前,購(gòu)買2件甲商品和3件乙商品需要180元;購(gòu)買1件甲商品和4件乙商品需要200元,而店慶期間,購(gòu)買10件甲商品和10件乙商品僅需520元,這比打折前少花多少錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M為EF中點(diǎn),則AM的最小值為 .
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