【題目】如圖所示,已知拋物線經過點 A (-2,0)、 B (4,0)、 C (0,-8),拋物線 y = a x 2 + b x + c (a≠0)與直線 y = x -4交于 B , D 兩點.
(1)求拋物線的解析式并直接寫出 D 點的坐標;
(2)點 P 為拋物線上的一個動點,且在直線 BD 下方,試求出△ BDP 面積的最大值及此時點 P 的坐標;
(3)點 Q 是線段 BD 上異于 B 、 D 的動點,過點 Q 作 QF ⊥ x 軸于點 F , 交拋物線于點 G . 當△ QDG 為直角三角形時,求點 Q 的坐標.
【答案】(1) (-1,-5);(2) (,-);(3) (2,-2)或 (3,-1)
【解析】試題分析:(1)設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),將點C的坐標代入可求得a的值,然后將y=x-4與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可;
(2)過點P作PE∥y軸,交直線AB與點E,設P(x,x2-2x-8),則E(x,x-4),則PE═-x2+3x+4,然后依據S△BDP=S△DPE+S△BPE,列出△BDP的面積與x的函數關系式,然后依據二次函數的性質求解即可;
(3)設直線y=x-4與y軸相交于點K,則K(0,-4),設G點坐標為(x,x2-2x-8),點Q點坐標為(x,x-4),先證明△QDG為等腰直角三角形,然后根據
∠QDG=90°和∠DGQ=90°兩種情況求解即可.
試題解析:(1)設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),將點C的坐標代入得:-8a=-8,解得:a=1,
∴拋物線的解析式為y=x2-2x-8.
將y=x-4代入拋物線的解析式得:x2-2x-8=x-4,解得:x=4或x=-1,
將x=-1代入y=x-4得:y=-5.
∴D(-1,-5).
(2)如圖所示:
過點P作PE∥y軸,交直線AB與點E,設P(x,x2-2x-8),則E(x,x-4).
∴PE=x-4-(x2-2x-8)=-x2+3x+4.
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE(xp-xD)+PE(xB-xE)=PE(xB-xD)=(-x2+3x+4)=-(x-)2+.
∴當x=時,△BDP的面積的最大值為.
∴P(,-).
(3)設直線y=x-4與y軸相交于點K,則K(0,-4),設G點坐標為(x,x2-2x-8),點Q點坐標為(x,x-4).
∵B(4,0),
∴OB=OK=4.
∴∠OKB=∠OBK=45°.
∵QF⊥x軸,
∴∠DQG=45°.
若△QDG為直角三角形,則△QDG是等腰直角三角形.
①當∠QDG=90°時,過點D作
∴QG=2DH,QG=-x2+3x+4,DH=x+1,
∴-x2+3x+4=2(x+1),解得:x=-1(舍去)或x=2,
∴Q1(2,-2).
②當∠DGQ=90°,則DH=QH.
∴-x2+3x+4=x+1,解得x=-1(舍去)或x=3,
∴Q2(3,-1).
綜上所述,當△QDG為直角三角形時,點Q的坐標為(2,-2)或(3,-1).
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【題目】如圖,拋物線的頂點為B(1,3),與軸的交點A在點 (2,0)和(3,0)之間.以下結論:
①;②;③;④≥;⑤若,且,
則.其中正確的結論有( )
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】根據下列要求,解答相關問題.
(1)請補全以下求不等式﹣2x2﹣4x>0的解集的過程.
①構造函數,畫出圖象:根據不等式特征構造二次函數y=﹣2x2﹣4x;并在下面的坐標系中(圖1)畫出二次函數y=﹣2x2﹣4x的圖象(只畫出圖象即可).
②求得界點,標示所需,當y=0時,求得方程﹣2x2﹣4x=0的解為 ;并用鋸齒線標示出函數y=﹣2x2﹣4x圖象中y>0的部分.
③借助圖象,寫出解集:由所標示圖象,可得不等式﹣2x2﹣4x>0的解集為﹣2<x<0.請你利用上面求一元一次不等式解集的過程,求不等式x2﹣2x+1≥4的解集.
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【題目】(1) 2(2a 2 9b) 3(3a 2 4b)
(2)(a 2 b2)(a b)( a b)
(3) ( x 2y 3 )2 (3xy)3 (x 2 y 3)2 ( x)3 2 y 3
(4)用簡便方法計算:9982 9980 16
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【題目】如圖,等邊三角形ABC沿邊AB方向平移到△BDE的位置,則圖中∠CBE=_____,連接CE后,線段CE與AD的關系是______,△BEC為____三角形.
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【題目】已知y﹣3與x成正比例,且x=2時,y=7.
(1)求出y與x之間的函數關系;
(2)畫出函數的圖象;
(3)結合所畫出的圖象直接寫出當x滿足什么條件時,函數的圖象都在x軸的上方?
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【題目】如圖在平面直角坐標系中,O是坐標原點,長方形OACB的頂點A,B分別在x,y軸上,已知OA=3,點D為y軸上一點,其坐標為(0,1),CD=5,點P從點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段A﹣C﹣B的方向運動,當點P與點B重合時停止運動,運動時間為t秒
(1)求B,C兩點坐標;
(2)①求△OPD的面積S關于t的函數關系式;
②當點D關于OP的對稱點E落在x軸上時,求點E的坐標;
(3)在(2)②情況下,直線OP上求一點F,使FE+FA最。
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【題目】已知反比例函數和一次函數的圖象都經過點P(m,-3m).
(1)求點P的坐標和一次函數的解析式;
(2)若點M(a,y1)和點N(a+1,y2)(a>0)都在反比例函數的圖象上,試通過計算或利用反比例的性質,說明y1與y2的大。
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