【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,將一塊與△ABC全等的三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)C上,一直角邊與BC重疊.
(1)操作1:固定△ABC,將三角板沿C→B方向平移,使其直角頂點(diǎn)落在BC的中點(diǎn)M,如圖2所示,探究:三角板沿C→B方向平移的距離為;
(2)操作2:在(1)的情況下,將三角板BC的中點(diǎn)M順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度a(0°<a<90°),如圖3所示,探究:設(shè)三角形板兩直角邊分別與AB、AC交于點(diǎn)P、Q,觀察四邊形MPAQ形狀的變化,問(wèn):四邊形MPAQ的面積S是否改變,若不變,求其面積;若改變,試說(shuō)明理由;
(3)在(2)的情形下,連PQ,則當(dāng)△MPQ的面積等于四邊形MPAQ的面積的一半時(shí),四邊形MPAQ的形狀為 , 此時(shí)BP= .
【答案】
(1)
(2)
答:四邊形MPAQ的面積S不變.
解法1:連接AM,
∵AB=AC=2,∠A=90°,
∴S△ABC= ABAC= ×2×2=2
又由(1)知,點(diǎn)M是BC中點(diǎn)
∴∠CAM=∠BAM=∠B=45°,AM⊥BC,
∴AM=BM,∠BMP+∠PMA=90°
∴S△ABM= S△ABC=1
又∠AMQ+∠PMA=90°
∴∠AMQ=∠BMP
∴△AMQ≌△BMP
∴S四邊形MPAQ=S△ABM=1,
解法2:如圖3,作MD⊥AC于D,作ME⊥AB于E,
∵AB=AC=2,∠A=90°
∴∠B=∠C=45°,四邊形ADME是矩形,
S△ABC= ABAC= ×2×2=2
又∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)
∴Rt△CMD≌Rt△BME
∴四邊形ADME是正方形,易求S正方形ADME= S△ABC=1
∴MD=ME,∠DMQ+∠QME=90°,
又∠EMP+∠QME=90°
∴∠DMQ=∠EMP
∴△DMQ≌△EMP
∴S四邊形MPAQ=S正方形ADME=1,
(3)正方形;1
【解析】(1.)解:(1)BC= =2 ,
∴CM= BC= 故三角板沿C→B方向平移的距離為: ;
所以答案是: ;
(3.)設(shè)AQ=PB=x,AP=2﹣x,
S△MPQ=S四邊形MAPQ﹣S△APQ=1﹣ AQAP=1﹣ x(2﹣x)= x2﹣x+1=
解得,x=1.
∴PB=1,
∴AQ=PB=AP=1,
∴點(diǎn)P是AB的中點(diǎn),
∵M(jìn)是BC中點(diǎn),
∴PM∥AQ,
∴∠MPA=90°,
∵∠PAQ=∠PMQ=90°,
∴四邊形MPAQ是矩形,
∵AQ=AP,
∴矩形MPAQ是正方形,
所以答案是:正方形,1.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的面積的相關(guān)知識(shí),掌握三角形的面積=1/2×底×高,以及對(duì)相似三角形的性質(zhì)的理解,了解對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】光明中學(xué)八年級(jí)甲、乙、丙三個(gè)班中,每班的學(xué)生人數(shù)都為40名,某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖:(每組分?jǐn)?shù)含最小值,不含最大值)
丙班數(shù)學(xué)成績(jī)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表
分?jǐn)?shù) | 50~60 | 60~70 | 70~80 | 80~90 | 90~100 |
人數(shù) | 1 | 4 | 15 | 11 | 9 |
根據(jù)上圖及統(tǒng)計(jì)表提供的信息,則80~90分這一組人數(shù)最多的班是________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示,現(xiàn)將△ABC平移,使點(diǎn)A變換為點(diǎn)A′,點(diǎn)B′、C′分別是B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn).
(1)請(qǐng)畫(huà)出平移后的△A′B′C′,并求△A′B′C′的面積;
(2)若連接AA′,CC′,則這兩條線段之間的關(guān)系是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小王購(gòu)買(mǎi)了一套經(jīng)濟(jì)適用房,他準(zhǔn)備將地面鋪上地磚,地面結(jié)構(gòu)如圖所示,根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)(單位:m),解答下列問(wèn)題:
(1)用含x的代數(shù)式表示地面總面積;
(2)當(dāng)x=4,y=2時(shí),鋪1 m2地磚的平均費(fèi)用為30元,那么鋪地磚的總費(fèi)用為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,AC、DC為弦,∠ACD=60°,P為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn),∠APD=30°.
(1)求證:DP是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為3cm,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列解答過(guò)程:(1)如圖甲,AB∥CD,探索∠P與∠A,∠C之間的關(guān)系.
(2)如圖乙和圖丙,AB∥CD,請(qǐng)根據(jù)上述方法分別探索兩圖中∠P與∠A,∠C之間的關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】是某汽車(chē)行駛的路程S(km)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系圖.觀察圖中所提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)汽車(chē)在前9分鐘內(nèi)的平均速度是多少?
(2)汽車(chē)在中途停了多長(zhǎng)時(shí)間?
(3)當(dāng)16≤t≤30時(shí),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,決定實(shí)行兩級(jí)收費(fèi)制,即每月用水量不超過(guò)15噸(含15噸)時(shí),每噸按政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價(jià)收費(fèi);每月超過(guò)15噸時(shí),超過(guò)部分每噸按市場(chǎng)調(diào)節(jié)價(jià)收費(fèi).小明家1月份用水23噸,交水費(fèi)35元,2月份用水19噸,交水費(fèi)25元.
(1)求每噸水的政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價(jià)與市場(chǎng)調(diào)節(jié)價(jià)分別是多少;
(2)小明家3月份用水24噸,他家應(yīng)交水費(fèi)多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B′,那么A(-1,3)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是________.
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