Question

如圖，將面積為a²的正方形與面積為b²的正方形（b＞a）放在一起，則△ABC的面積是

 

．

Answer 1

分析：先由三角形的面積公式求出面積的表達式，再分別求出表達式中各項的值（用含a、b的式子表達），即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：法一：設AC與DG交于H點，如下圖所示，則：
由圖形可得：S_△ABC=S_△ABD+S_△ADH+S_△BHC
∵S_△ABD=

1

2

AD×BD，S_△ADH=

1

2

AD×DH，S_△BHC=

1

2

CG×BH（CG是△BHC邊BH上的高），
∴S_△ABC=

1

2

BH×（AD+CG）
∵已知AD=a，CG=b，BH=BG-GH
∴S_△ABC=

1

2

（b-GH）×（a+b）
故求出GH的長即可求出△ABC的面積，
在△AEC中，AE∥GH
∴△CGH∽△CEA
∴

GH

AE

=

CG

CE

∴GH=

ab

a+b

∴S_△ABC=

1

2

（b-GH）×（a+b）
=

1

2

（b-

ab

a+b

）×（a+b）
=

1

2

b²．

法二：連接AG，
∵四邊形AEGD和四邊形BGCF是正方形，
∴∠AGE=∠BCG=45°，
∴AG∥BC，
∴△ABC和△BCG是等底等高的三角形，
∴S_△ABC=S_△BCG=

1

2

S_{正方形BGCF}=

1

2

b²．
故答案為0.5b²．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質以及三角形面積的確定方法．