【題目】如圖①,平面直角坐標系XOY中,若A(0,a)、B(b,0)且(a﹣4)2+=0,以AB為直角邊作等腰Rt△ABC,∠CAB=90°,AB=AC.
(1)求C點坐標;
(2)如圖②過C點作CD⊥X軸于D,連接AD,求∠ADC的度數(shù);
(3)如圖③在(1)中,點A在Y軸上運動,以OA為直角邊作等腰Rt△OAE,連接EC,交Y軸于F,試問A點在運動過程中S△AOB:S△AEF的值是否會發(fā)生變化?如果沒有變化,請直接寫出它們的比值 (不需要解答過程或說明理由).
【答案】(1)C點坐標為(4,5);(2)∠ADC=45°;(3)2.
【解析】試題分析:(1)作CM⊥OA于M,由非負性質(zhì)求出a=4,b=1,由AAS證明△CAM≌△ABO,得出MC=OA=4,MA=OB=1,求出OM=OA+MA=5,即可得出C點坐標;
(2)證出OD=OA,得出△OAD為等腰直角三角形,得出∠ADO=45°,求出∠ADC=45°即可;
(3)先判斷出△AEF≌△MCF,進而求出AM,最后用三角形的面積公式即可得出結(jié)論;
試題解析:(1)作CM⊥OA于M,如圖①所示:
則∠CMA=∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠ABO=90°,
∵(a﹣4)2+=0,
∴a﹣4=0,b﹣1=0,
∴a=4,b=1,
∴OA=4,OB=1,
∵∠CAB=90°,
∴∠OAB+∠CAM=90°,
∴∠CAM=∠ABO,
在△CAM和△ABO中,
,
∴△CAM≌△ABO(AAS),
∴MC=OA=4,MA=OB=1,
∴OM=OA+MA=5,
∴C點坐標為(4,5);
(2)∵CD⊥x軸,∴D(4,0),
∴OD=OA,
∴△OAD為等腰直角三角形,
∴∠ADO=45°,
∴∠ADC=90°﹣45°=45°;
(3)A點在運動過程中S△AOB:S△AEF的值不會發(fā)生變化,S△AOB:S△AEF=2;
理由如下:作CM⊥OA于M,如圖③所示:
由(1)知,A(0,4),C(4,5),
∴OA=CM=4,
∵△AEO是等腰直角三角形,
∴AE=OA=4,∠OAE=90°,
∴∠EAF=∠OAE=90°=∠CMF,
∵∠AFE=∠MFC,AE=CM,
∴△AEF≌△MCF,
∴AF=MF=AM,
∵C(4,5),A(0,4),
∴AM=1,
∴MF=,
∴S△AEF=S△MCF=MF×CM=××4=1,
S△AOB=OA×OB=×4×1=2,
∴S△AOB:S△AEF=2:1=2,
即S△AOB:S△AEF的值是定值,不會發(fā)生變化.
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【題目】如圖,已知直線l1∥l2,且l3和l1、l2分別交于A、B兩點,點P在直線AB上.
(1)試說明∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系式;(要求寫出推理過程)
(2)如果點P在A、B兩點之間(點P和A、B不重合)運動時,試探究∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系是否發(fā)生變化?(只回答)
(3)如果點P在A、B兩點外側(cè)(點P和A、B不重合)運動時,試探究∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系.(要求寫出推理過程)
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【題目】已知:點A在射線CE上,∠C=∠D.
(1)如圖1,若AC∥BD,求證:AD∥BC;
(2)如圖2,若∠BAC=∠BAD,BD⊥BC,請?zhí)骄?/span>∠DAE與∠C的數(shù)量關(guān)系,寫出你的探究結(jié)論,并加以證明;
(3)如圖3,在(2)的條件下,過點D作DF∥BC交射線于點F,當∠DFE=8∠DAE時,求∠BAD的度數(shù).
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【題目】如圖所示,MP和NQ分別垂直平分AB和AC.
(1)若△APQ的周長為12,求BC的長;
(2)∠BAC=105°,求∠PAQ的度數(shù).
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【題目】如圖所示是某一蓄水池每小時的排水量V(m3/h)與排完水池中的水所用的時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系圖象.
①請你根據(jù)圖象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量;
②寫出此函數(shù)的解析式;
③若要6h排完水池中的水,那么每小時的排水量應該是多少?
④如果每小時排水量是5m3,那么水池中的水將要多少小時排完?
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【題目】如圖,在等邊△ABC中,點D,E分別在邊BC,AB上,且BD=AE,AD與CE交于點F.
(1)求證:AD=CE;
(2)求∠DFC的度數(shù).
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【題目】某天,一蔬菜經(jīng)營戶用60元錢從蔬菜批發(fā)市場批了西紅柿和豆角共40㎏到菜市場去賣,西紅柿和豆角這天的批發(fā)價與零售價如下表所示:問:他當天賣完這些西紅柿和豆角能賺多少錢?
品名 | 西紅柿 | 豆角 |
批發(fā)價(單位:元/kg) | 1.2 | 1.6 |
零售價(單位:元/kg) | 1.8 | 2.5 |
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【題目】兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置,圖2是由它抽象出的幾何圖形,B,C,E在同一條直線上,連結(jié)DC.
(1)求證:△ABE≌△ACD;
(2)求證:DC⊥BE.
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【題目】下列說法中正確的是( ).
A. “打開電視機,正在播放《動物世界》”是必然事件
B. 某種彩票的中獎概率為,說明每買1000張,一定有一張中獎
C. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次,出現(xiàn)正面朝上的概率為
D. 想了解長沙市所有城鎮(zhèn)居民的人均年收入水平,宜采用抽樣調(diào)查
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