【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點(diǎn)M.
(1)求拋物線的解析式和對稱軸;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使△PAB的周長最。咳舸嬖,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點(diǎn)N,使△NAC的面積最大?若存在,請求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)x=3;(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,).(3)N(,﹣3)
【解析】
試題分析:(1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,4),B(1,0),C(5,0),可利用兩點(diǎn)式法設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣5),代入A(0,4)即可求得函數(shù)的解析式,則可求得拋物線的對稱軸;
(2)點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(6,4),連接BA′交對稱軸于點(diǎn)P,連接AP,此時△PAB的周長最小,可求出直線BA′的解析式,即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N,使△NAC面積最大.設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,此時點(diǎn)N(t,t2﹣t+4)(0<t<5),再求得直線AC的解析式,即可求得NG的長與△ACN的面積,由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案.
解:(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣5),
把點(diǎn)A(0,4)代入上式得:a=,
∴y=(x﹣1)(x﹣5)=x2﹣x+4=(x﹣3)2﹣,
∴拋物線的對稱軸是:x=3;
(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,).
理由如下:
∵點(diǎn)A(0,4),拋物線的對稱軸是x=3,
∴點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(6,4)
如圖1,連接BA′交對稱軸于點(diǎn)P,連接AP,此時△PAB的周長最小.
設(shè)直線BA′的解析式為y=kx+b,
把A′(6,4),B(1,0)代入得,
解得,
∴y=x﹣,
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,
∴y=×3﹣=,
∴P(3,).
(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N,使△NAC面積最大.
設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,此時點(diǎn)N(t,t2﹣t+4)(0<t<5),
如圖2,過點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G;作AD⊥NG于D,
由點(diǎn)A(0,4)和點(diǎn)C(5,0)可求出直線AC的解析式為:y=﹣x+4,
把x=t代入得:y=﹣t+4,則G(t,﹣t+4),
此時:NG=﹣t+4﹣(t2﹣t+4)=﹣t2+4t,
∵AD+CF=CO=5,
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NGOC=×(﹣t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣)2+,
∴當(dāng)t=時,△CAN面積的最大值為,
由t=,得:y=t2﹣t+4=﹣3,
∴N(,﹣3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=ax2-11ax+24a(a<0)與x軸交于B、C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),拋物線上另有一點(diǎn)A在第一象限內(nèi),且∠BAC=90°.
(1)求線段OC的長和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)連接OA,將△OAC沿x軸翻折后得△ODC,當(dāng)四邊形OACD是菱形時,求此時拋物線的解析式;
(3)如圖2,折垂直于x軸的直線l:x=n與(2)中所求的拋物線交于點(diǎn)M,與CD交于點(diǎn)N,若直線l沿x軸方向左右平移,且交點(diǎn)M始終位于拋物線上A、C兩點(diǎn)之間時,試探究:當(dāng)n為何值時,四邊形AMCN的面積取得最大值,并求這個最大值;
(4)在(3)的條件下,當(dāng)取得最大值時,四邊形ADNM是否為平行四邊形?直接回答 (是或不是).如果不是,請直接寫出此時的點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,由小亮家向東走20m,再向北走10m就到了小麗家,若再向北走30m就到了
小紅家,再向東走40m,就到了小濤家.若用(0,0)表示小亮家的位置,用(2,1)表
示小麗家的位置.
(1)小紅、小濤家如何表示?
(2)小剛家的位置是(6,3),則小濤到小剛家怎么走?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列關(guān)于直線x=1對稱的點(diǎn)是( )
A.點(diǎn)(0,-3)與點(diǎn)(-2,-3)
B.點(diǎn)(2,3)與點(diǎn)(0,3)
C.點(diǎn)(2,3)與點(diǎn)(-2,3)
D.點(diǎn)(2,3)與點(diǎn)(2,-3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某市2013年企業(yè)用水量x(噸)與該月應(yīng)交的水費(fèi)y(元)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)當(dāng)x≥50時,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若某企業(yè)2013年10月份的水費(fèi)為620元,求該企業(yè)2013年10月份的用水量;
(3)為貫徹省委“五水共治”發(fā)展戰(zhàn)略,鼓勵企業(yè)節(jié)約用水,該市自2014年1月開始對月用水量超過80噸的企業(yè)加收污水處理費(fèi),規(guī)定:若企業(yè)月用水量x超過80噸,則除按2013年收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)收取水費(fèi)外,超過80噸部分每噸另加收元,若某企業(yè)2014年3月份的水費(fèi)和污水處理費(fèi)共600元,求這個企業(yè)該月的用水量.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P1(x1,y1),點(diǎn)P2(x2,y2),…,點(diǎn)Pn(xn,yn)在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,△P1OA,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形,斜邊OA1,A1A2,A2A3,…,An﹣1An都在x軸上(n是大于或等于2的正整數(shù)).若△P1OA1的內(nèi)接正方形B1C1D1E1的周長記為l1,△P2A1A2的內(nèi)接正方形的周長記為l2,…,△PnAn﹣1An的內(nèi)接正方形BnCnDnEn的周長記為ln,則l1+l2+l3+…+ln= (用含n的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在同一個平面內(nèi),直線a、b相交于點(diǎn)P,a∥c,b與c的位置關(guān)系是( 。
A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 平行或相交
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