如圖1,在銳角△ABC中,BC=9,AH⊥BC于點(diǎn)H,且AH=6,點(diǎn)D為AB邊上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC,交AC于點(diǎn)E.設(shè)△ADE的高AF為x(0<x<6),以DE為折線將△ADE翻折,所得的△A'DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y(點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)A'落在AH所在的直線上).
(1)分別求出當(dāng)0<x≤3與3<x<6時(shí),y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)x取何值時(shí),y的值最大,最大值是多少?

【答案】分析:(1)①當(dāng)0<x≤3時(shí),A′在三角形ABC內(nèi)部,重合部分為三角形DA′E,因此只需求三角形ADE的面積即可.本題可先通過(guò)相似三角形ADE和ABC高的相似比求出DE的長(zhǎng),進(jìn)而求三角形ADE的面積,也可直接根據(jù)三角形面積比等于相似比的平方來(lái)求三角形ADE的面積.
②當(dāng)3<x<6時(shí),此時(shí)A′落在三角形ABC外部,重合部分的面積可用三角形A′DE的面積即三角形ADE的面積-三角形A′PQ的面積求得.求法同①.
(2)根據(jù)(1)得出的函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍可得出y的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值.
解答:解:(1)①當(dāng)0<x≤3時(shí),由折疊得到的△A'ED落在△ABC內(nèi)部如圖(1),重疊部分為△A'ED
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC(1分)
,
,即DE=x
又∵FA'=FA=x
∴y=DE•A′F=×x•x
∴y=x2(0<x≤3)
②當(dāng)3<x<6時(shí),由折疊得到的△A'ED有一部分落在△ABC外,如圖(2),重疊部分為梯形EDPQ
∵FH=6-AF=6-x
A'H=A'F-FH=x-(6-x)=2x-6
又∵DE∥PQ
∴△A′PQ∽△A′DE

,PQ=3(x-3)
∴y=(DE+PQ)×FH
[x+3(x-3)]×(6-x)
∴y=-x2+18x-27(3<x<6);

(2)當(dāng)0<x≤3時(shí),y的最大值:y1=x2=×32=;
當(dāng)3<x<6時(shí),由y=-x2+18x-27=-(x-4)2+9
可知:當(dāng)x=4時(shí),y的最大值:y2=9;
∵y1<y2
∴當(dāng)x=4時(shí),y有最大值:y最大=9.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圖形的翻折變換、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí).
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(3)如圖3,在銳角△ABC中,BF⊥AC于點(diǎn)F,CG⊥AB于點(diǎn)G,BF、CG交于點(diǎn)H,把△ABC折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合,試探索∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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(3)在△ABC中,若∠A=α,請(qǐng)你探索AB、AC邊上的高線(或延長(zhǎng)線)相交所成的∠BPC的度數(shù).(可以用含α的代數(shù)式表示)

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