如圖1,在銳角△ABC中,BC=9,AH⊥BC于點H,且AH=6,點D為AB邊上的任意一點,過點D作DE∥BC,交AC于點E.設△ADE的高AF為x(0<x<6),以DE為折線將△ADE翻折,所得的△A'DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y(點A關于DE的對稱點A'落在AH所在的直線上).
(1)分別求出當0<x≤3與3<x<6時,y與x的函數(shù)關系式;
(2)當x取何值時,y的值最大,最大值是精英家教網(wǎng)多少?
分析:(1)①當0<x≤3時,A′在三角形ABC內(nèi)部,重合部分為三角形DA′E,因此只需求三角形ADE的面積即可.本題可先通過相似三角形ADE和ABC高的相似比求出DE的長,進而求三角形ADE的面積,也可直接根據(jù)三角形面積比等于相似比的平方來求三角形ADE的面積.
②當3<x<6時,此時A′落在三角形ABC外部,重合部分的面積可用三角形A′DE的面積即三角形ADE的面積-三角形A′PQ的面積求得.求法同①.
(2)根據(jù)(1)得出的函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍可得出y的最大值及對應的x的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)①當0<x≤3時,由折疊得到的△A'ED落在△ABC內(nèi)部如圖(1),重疊部分為△A'ED
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC(1分)
DE
BC
=
AF
AH
,
DE
9
=
x
6
,即DE=
3
2
x
又∵FA'=FA=x
∴y=
1
2
DE•A′F=
1
2
×
3
2
x•x
∴y=
3
4
x2(0<x≤3)
②當3<x<6時,由折疊得到的△A'ED有一部分落在△ABC外,如圖(2),重疊部分為梯形EDPQ
∵FH=6-AF=6-x
A'H=A'F-FH=x-(6-x)=2x-6
又∵DE∥PQ
∴△A′PQ∽△A′DE
PQ
DE
=
A′H
A′F

PQ
3
2
x
=
2x-6
x
,PQ=3(x-3)
∴y=
1
2
(DE+PQ)×FH
1
2
[
3
2
x+3(x-3)]×(6-x)
∴y=-
9
4
x2+18x-27(3<x<6);

(2)當0<x≤3時,y的最大值:y1=
3
4
x2=
3
4
×32=
27
4
;
當3<x<6時,由y=-
9
4
x2+18x-27=-
9
4
(x-4)2+9
可知:當x=4時,y的最大值:y2=9;
∵y1<y2,
∴當x=4時,y有最大值:y最大=9.
點評:本題考查了圖形的翻折變換、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的應用等知識.
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