【題目】如圖,在□ABCD中,點E是邊AD上一點,且AE=AB.
(1)作∠BCD的角平分線CF,交AD于F點,交BE于G點;(尺規(guī)作圖,保留痕跡,不寫畫法)
(2)在(1)的條件下,
①求∠BGC的度數(shù);
②設AB=a,BC=b,則線段EF= (用含a,b的式子表示);
③若AB=10,CF=12,求BE的長.
【答案】(1)見解析;(2)①90°;②;③
【解析】
(1)以點D為圓心,DC為半徑作圓交AD于點F,連接CF交BE于點G即為所作;
(2)①根據角平分線的定義和平行線的性質,就可求出;
②根據角平分線的定義和平行線的性質可得出DC=DF,再因為AB=AE即可求出;
③根據平行線+角平分線可推出等腰三角形,進而可證得四邊形AHCF是平行四邊形,因為∠BGC=90°可得∠AMB=90°,所以點M是BE的中點也是AH的中點,再根據勾股定理可求出BM的值,即可求出答案.
(1)如下圖所示:
此圖即為所作.
(2)①∵AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠AEB=∠CBE,
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC,
∵CF平分∠BCD,
∴∠BCF=∠BCD,
∴∠CBE+∠BCF=90°,
∴∠BGC=180°-90°=90°
②∵CF平分∠BCD,
∴∠BCF=∠DCF
∵AD∥BC,
∴∠BCF=∠DFC,
∴∠DFC=∠DCF,
∴DF=DC,
∵AB=a,BC=b,
∴EF=,
③作∠BAD的平分線交BC于點H,交BE于點M,如下圖所示:
∵AH平分∠BAD,
∴∠BAH=∠DAH,
∵AD∥BC,
∴∠BAH=∠AHB,
∴AB=BH,△ABH是等腰三角形,
∵DC=DF,
∴BH=DF
∴HC=BC-BH=AD-DF=AF,
∵AD∥BC,
∴四邊形AHCF是平行四邊形,
∴AH∥CF,
∴∠BMH=∠BGC=90°,
∴點M是AH的中點,
∵AB=AE,
∴△ABE是等腰三角形,
∴點M是BE的中點,
∵AB=10,CF=12,
∴AH=CF=10,
∴AM=6,
在△AMB中,由勾股定理得:
,
∴BE=16.
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【題目】作圖與探究(不寫作法,保留作圖痕跡,并用 0.5 毫米黑色簽字筆描深痕跡) 如圖,∠DBC 和∠ECB 是△ABC 的兩個外角°
(1)用直尺和圓規(guī)分別作∠DBC 和∠ECB 的平分線,設它們相交于點 P;
(2)過點 P 分別畫直線 AB、AC、BC 的垂線段 PM、PN、PQ,垂足 為 M、N、Q;
(3) PM、PN、PQ 相等嗎?(直接寫出結論,不需說明理由)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在13×13的網格圖中,已知△ABC和點M(1,2).
(1)以點M為位似中心,畫出△ABC的位似圖形△A′B′C′,其中△A′B′C′與△ABC的位似比為2;
(2)寫出△A′B′C′的各頂點坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的袋子中裝有除顏色外都相同的紅球和黃球,兩種顏色的球一共有10個,每次摸出其中一個球,記下顏色后,放回攪勻.一個同學進行了反復試驗,下面是做該試驗獲得的數(shù)據.
(1)a= ,畫出摸到紅球的頻率的折線統(tǒng)計圖;
(2)從這個袋子中任意摸一個球,摸到黃球的概率估計值是多少?(精確到0.1)
(3)怎樣改變袋中紅球或黃球的個數(shù),可以使得任意摸一次,摸到兩種顏色球的概率相等?(寫出一種方案即可)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,E是BC的中點,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于點F.
(1)求證:DC=EC.
(2)若AB=6,BC=10,求EF的長.
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【題目】在平面直角坐標系中,點A,B,C是x軸的正半軸上從左向右依次排列的三點,過點A,B,C分別作與軸平行的直線,,.
(1)如圖1,若直線與直線,,分別交于點D,E,F三點,設D(,),E(,),F(,) .
①若,,,則 (填“=”,“>”或“<”);
②若,, (),求證:AB=BC;
(2)如圖2,點A,B,C的橫坐標分別為,n,(),直線,,與反比例函數(shù)()的圖像分別交于點D,E,F,根據以上探究的經驗,探索
與之間的大小關系,并說明理由.
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【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m.
(1)如果二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點,求m的取值范圍;
(2)如圖,二次函數(shù)的圖象過點A(3,0),與y軸交于點B,直線AB與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點P,求點P的坐標.
(3)根據圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,將沿翻折,點的對稱點是點,,
(1)求證:四邊形是菱形;
(2)如圖2,在上取一點,連接并延長至點,在上取一點,連接,若,求證:.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著新農村的建設和舊城的改造,我們的家園越來越美麗,小明家附近廣場中央新修了一個圓形噴水池,在水池中心豎直安裝了一根高米的噴水管,它噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為米處達到最高,水柱落地處離池中心米.
(1)請你建立適當?shù)闹苯亲鴺讼,并求出水柱拋物線的函數(shù)解析式;
(2)求出水柱的最大高度是多少?
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