Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F．

（1）求證：△PFA∽△ABE；

（2）當點P在射線AD上運動時，設PA=x，是否存在實數(shù)x，使以P，F(xiàn)，E為頂點的三角形也與△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2或5

【解析】

（1）在△PFA與△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；

（2）根據(jù)題意：若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB；必須有PE∥AB；分兩種情況進而列出關系式．

（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠PAF=∠AEB．

∵∠PFA=∠ABE=90°，

∴△PFA∽△ABE．

（2）若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB．

∴PE∥AB．

∴四邊形ABEP為矩形．

∴PA=EB=2，即x=2．

若△PFE∽△ABE，則∠PEF=∠AEB．

∵∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF．

∴PE=PA．

∵PF⊥AE，

∴點F為AE的中點．

∵AE=，

∴EF=AE=．

∵，即，

∴PE=5，即x=5．

∴滿足條件的x的值為2或5．