Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，過(guò)C點(diǎn)作CG∥AD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．

（1）試問(wèn)：CG是⊙O的切線嗎？說(shuō)明理由；

（2）請(qǐng)證明：E是OB的中點(diǎn)；

（3）若AB=8，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1） CG是⊙O的切線，理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）已知點(diǎn)C在圓上，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FCG=90°，即OC⊥CG；故CG是⊙O的切線．

（2）方法比較多，應(yīng)通過(guò)等邊三角形的性質(zhì)或三角形全等的思路來(lái)考慮；

（3）Rt△OCE中，有三角函數(shù)的定義，可得CE=OE×cot30°，故代入OE=2可得CE的長(zhǎng)．

試題解析：（1）CG是⊙O的切線．

理由如下：

∵CG∥AD，

∵CF⊥AD，

∴OC⊥CG．

∴CG是⊙O的切線；

（2）第一種方法：連接AC，如圖，

∵CF⊥AD，AE⊥CD且CF，AE過(guò)圓心O，

∴．

∴AC=AD=CD．

∴△ACD是等邊三角形．

在Rt△COE中，

∴OE=OB．

∴點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)．

．

∵AE⊥CD，且AE過(guò)圓心O，

∴CE=DE．

（3）∵AB=8，

∴OC=AB=4．

又∵BE=OE，

∴OE=2．

∴CE=OE×cot30°=．

∵AB⊥CD，

∴CD=2CE=．