Question

【題目】如圖1，拋物線C：y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）、B（﹣1，3）兩點(diǎn)，G是其頂點(diǎn)，將拋物線C繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C′．

（1）求拋物線C的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（2）如圖2，直線l：y＝kx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D是拋物線C上的一點(diǎn)，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m（m＜﹣2），連接DO并延長(zhǎng)，交拋物線C′于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)M，若DE＝2EM，求m的值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AG、AB，在直線DE下方的拋物線C上是否存在點(diǎn)P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x，頂點(diǎn)為：G（﹣2，4）；（2）－3；（3）存在，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：或

【解析】

(1)運(yùn)用待定系數(shù)法將A(﹣4，0)、B(﹣1，3)代入y=ax2+bx中，即可求得a和b的值和拋物線C解析式，再利用配方法將拋物線C解析式化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)拋物線C繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，可求得新拋物線C′的解析式，再將A(﹣4，0)代入y=kx中，即可求得直線l解析式，根據(jù)對(duì)稱性可得點(diǎn)E坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，過(guò)M作MR⊥x軸于R，由DE=2EM，建立方程求解即可；

(3)連接BG，易證△ABG是Rt△，∠ABG=90°，可得tan∠DEP=tan∠GAB，在x軸下方過(guò)點(diǎn)O作OH⊥OE，在OH上截取OHOE，過(guò)點(diǎn)E作ET⊥y軸于T，連接EH交拋物線C于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)；通過(guò)建立方程組求解即可．

(1)將A(﹣4，0)、B(﹣1，3)代入y=ax2+bx中，得，

解得，

∴拋物線C解析式為：y=﹣x2﹣4x，

配方，得：y=﹣x2﹣4x=﹣(x+2)2+4，

∴頂點(diǎn)為：G(﹣2，4)；

(2)∵拋物線C繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C′．

∴新拋物線C′的頂點(diǎn)為：G′(2，﹣4)，二次項(xiàng)系數(shù)為：a′=1，

∴新拋物線C′的解析式為：y=(x﹣2)2﹣4=x2﹣4x，

將A(﹣4，0)代入y=kx中，得0=﹣4k，解得k，

∴直線l解析式為yx，

設(shè)D(m，﹣m2﹣4m)，

∵D、E關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

∴OD=OE，

∵DE=2EM，

∴OM=2OD，

過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，過(guò)M作MR⊥x軸于R，

∴∠OFD=∠ORM，

∵∠DOF=∠MOR，

∴△ODF∽△OMR，

∴2，

∴OR=2OF，RM=2DF，

∴M(﹣2m，2m2+8m) ，

將M(﹣2m，2m2+8m)代入直線l解析式yx，

∴2m2+8m(﹣2m)，

解得：m1=﹣3，m2，

∵m＜﹣2

∴m的值為：﹣3；

(3)由(2)知：m=﹣3，

∴D(﹣3，3)，E(3，﹣3)，OE=3，

如圖3，連接BG，

在△ABG中，

∵AB2=(﹣1+4)2+(3﹣0)2=18，

BG2=(﹣1+2)2+(3﹣4)2=2，

AG2=(﹣4+2)2+(0﹣4)2=20，

∴AB2+BG2=AG2，

∴△ABG是直角三角形，∠ABG=90°，

∴tan∠GAB，

∵∠DEP=∠GAB，

∴tan∠DEP=tan∠GAB，

在x軸下方過(guò)點(diǎn)O作OH⊥OE，在OH上截取OHOE，

過(guò)點(diǎn)E作ET⊥y軸于T，連接EH交拋物線C于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)；

∵E(span>3，﹣3)，

∴∠EOT=45°，

∵∠EOH=90°，

∴∠HOT=45°，

過(guò)點(diǎn)H作HN⊥y軸于N，

∵OH，∠HOT=45°，

∴HN=NO=1，

∴H(﹣1，﹣1)，設(shè)直線EH解析式為y=px+q，

則，解得，

∴直線EH解析式為yx，

解方程組，

得，，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：或．