Question

如圖，BC是⊙O的直徑，A是弦BD延長線上一點，切線DE平分AC于E。

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若AD:DB=3:2，AC=15，求⊙O的直徑。

 

Answer 1

【答案】

（1）連接OD、CD，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根據(jù)圓周角定理可得∠BDC=90°，再結(jié)合E為AC的中點，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得DE=CE=AE=AC，即得∠2=∠3，根據(jù)元的基本性質(zhì)可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，從而證得結(jié)論；（2）

【解析】

試題分析：（1）連接OD、CD，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根據(jù)圓周角定理可得∠BDC=90°，再結(jié)合E為AC的中點，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得DE=CE=AE=AC，即得∠2=∠3，根據(jù)元的基本性質(zhì)可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，從而證得結(jié)論；  

（2）分別證得△ACD∽△ABC與△ACD∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，由AD:DB=3:2可設(shè)AD=3k，DB=2k，則AB=5k，即可求得結(jié)果.

（1）連接OD、CD

∵DE是⊙O的切線，切點為D

∴OD⊥DE于D

∴∠ODE=90°，即∠1+∠2=90°；

∵BC為⊙O的直徑

∴∠BDC=90°

∴∠ADC=90°

∵E為AC的中點

∴DE=CE=AE=AC

∴∠2=∠3

∵⊙O中，OC=OD

∴∠1=∠4

∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°

∴OC⊥AC于C

∴AC是⊙O的切線；

（2）∵∠ACD=∠BDC=90°，∠A=∠A

∴△ACD∽△ABC

同理：△ACD∽△BCD

∴①

②

∵AD:DB=3:2

∴設(shè)AD=3k，DB=2k，則AB=5k

∴①

②

∴.

考點：圓的綜合題

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．