Question

【題目】如圖1，已知中，，，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，且．

（1）求的度數(shù)；

（2）如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）得到．

①若，與相交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)度；

②連接，，若旋轉(zhuǎn)過(guò)程中時(shí)，求滿足條件的的度數(shù)．

（3）如圖3，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）得到，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，直接寫出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的取值范圍為______．

Answer 1

【答案】（1）∠ADC=30°；（2）①DE=；②45°或225°；（3）．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，由等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件可得CH＝AB＝CD，再由銳角三角函數(shù)可求解；

（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和（1）題的結(jié)果可得的長(zhǎng)，∠＝∠，由等腰三角形的性質(zhì)和30°角的余弦可得CF與CE，進(jìn)一步即可求出結(jié)果；

②分兩種情況分別畫出圖形，如圖3、圖4，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可由“SSS”證明△≌△，可得∠＝∠，進(jìn)而可得α的方程，解方程即得結(jié)果；

（3）如圖5，當(dāng)⊥AC時(shí)，N是AC與的交點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，如圖6，當(dāng)點(diǎn)A，C，共線，且點(diǎn)N與點(diǎn)重合時(shí)，MN有最大值，進(jìn)而可求結(jié)果．

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，

∴AB＝6，CH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵AB＝CD，

∴CH＝CD，

∴sin∠ADC＝，

∴∠ADC＝30°；

（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥于F，

∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△，

∴CD＝＝6，∠＝30°＝∠CDA＝∠，

∴CE＝，

又∵EF⊥，

∴CF＝＝3，

∴CE＝，

∴DE＝DC﹣CE＝；

②如圖3，

∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，

∴∠BCD＝15°，

∴∠ACD＝105°，

∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△，

∴AC＝，CD＝，∠＝∠＝α，

∴CB＝，

又∵，

∴△≌△（SSS），

∴∠＝∠，

∴105°﹣α＝15°+α，

∴α＝45°；

如圖4，

同上面的方法可證：△≌△，

∴∠＝∠，

∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，

∴α＝225°；

綜上所述：滿足條件的α的度數(shù)為45°或225°；

（3）如圖5，當(dāng)⊥AC，N是AC與的交點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，

∵∠＝45°，⊥AC，

∴∠＝∠＝45°，

∴CN＝N＝3，

∵點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，

∴CM＝AC＝3，

∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；

如圖6，當(dāng)點(diǎn)A，C，共線，且點(diǎn)N與點(diǎn)重合時(shí)，MN有最大值，

此時(shí)MN＝CM+CN＝6+3，

∴線段MN的取值范圍是；

故答案為：．