【題目】如果一個(gè)三角形能被一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形,那么稱這條線段為這個(gè)三角形的特異線,稱這個(gè)三角形為特異三角形.

(1)如圖1,△ABC中,∠B=2∠C,線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.求證:AE是△ABC的一條特異線.
(2)如圖2,已知△ABC是特異三角形,且∠A=30°,∠B為鈍角,求出所有可能的∠B的度數(shù).
(3)如圖3,△ABC是一個(gè)腰長為2的等腰銳角三角形,且它是特異三角形,若它的頂角度數(shù)為整數(shù),請求出其特異線的長度;若它的頂角度數(shù)不是整數(shù),請直接寫出頂角度數(shù).

【答案】
(1)解:證明:如圖1中,

∵DE是線段AC的垂直平分線,

∴EA=EC,即△EAC是等腰三角形,

∴∠EAC=∠C,

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,

∵∠B=2∠C,

∴∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形,

∴AE是△ABC是一條特異線


(2)解:如圖2中,

當(dāng)BD是特異線時(shí),如果AB=BD=DC,則∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°,

如果AD=AC,DB=DC,則∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°,

如果AD=DB,DC=DB,則ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°(不合題意舍棄).

如圖3中,當(dāng)AD是特異線時(shí),AB=BD,AD=DC,則∠ABC=180°﹣20°﹣20°=140°

當(dāng)CD為特異線時(shí),不合題意.

∴符合條件的∠ABC的度數(shù)為135°或112.5°或140°


(3)解:如圖3中,

當(dāng)BD是特異線時(shí),有兩種情形,如果AD=BD=BC,設(shè)∠A=x,則x+2x+2x=180°,解得x=36°,

設(shè)AD=BD=BC=a,

由△BCD∽△ABC得到 ,

∴a2+2a﹣4=0,

∴a=﹣1+ 或﹣1﹣ (舍棄).

如果AD=BC,BC=CD,設(shè)∠A=x,則2x+2x+3x=180°解得x=( )°.

當(dāng)AD是特異線時(shí),如果DA=DB,CA=CD,設(shè)∠B=∠C=x,則x+2x+2x=180°,解得x=36°,

∴∠BAC=108°,不符合題意.

∴△ABC是一個(gè)腰長為2的等腰銳角三角形,且它是特異三角形,若它的頂角度數(shù)為整數(shù),其特異線的長度為﹣1+ ,

若它的頂角度數(shù)不是整數(shù),則頂角度數(shù)為( )°


【解析】(1)由DE是線段AC的垂直平分線,易得△EAC是等腰三角形;又∠B=2∠C,利用外角關(guān)系易得∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形,特異線可證。
(2)由△ABC是特異三角形,且∠A=30°,易得若∠A分別為等腰三角形的頂角時(shí),以及∠A為底角時(shí)∠ADB,∠ABD為頂角的情況,可能符合題意;還要考慮AD為特異線的情況;最后要注意檢驗(yàn)∠B是否為鈍角,可得最后結(jié)果
(3)當(dāng)BD是特異線時(shí),有兩種情形,如果AD=BD=BC則可以利用相似可得a的結(jié)果,如果AD=BC,BC=CD解得頂角為分?jǐn)?shù),不用計(jì)算a
若當(dāng)AD是特異線時(shí),如果DA=DB,CA=CD算得頂角為鈍角,不符合要求,舍去。最后總結(jié)兩種結(jié)果。

練習(xí)冊系列答案
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2)若的兩側(cè)(如圖所示),且,其他條件不變,仍垂直嗎?若是請給出證明;若不是,請說明理由.

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1請?jiān)趫D中畫出平移后的;

2ABC的面積為 _;

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B.3:4
C.1:1
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