【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,1),點(diǎn)C(0,4),頂點(diǎn)為點(diǎn)M,過點(diǎn)A作AB∥ x軸,交y軸于點(diǎn)D,交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B,連結(jié)BC.

(1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo);

(2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移m(m>0)個單位,使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ ABC的內(nèi)部(不包括△ ABC的邊界),求m的取值范圍;

(3)點(diǎn)P是直線AC上的動點(diǎn),若點(diǎn)P,點(diǎn)C,點(diǎn)M所構(gòu)成的三角形與△ BCD相似,請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果,不必寫過程).

【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+4,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,5);

(2)m的取值范圍為2<m<4;

(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為你P1),P2),P3(3,1),P4(﹣3,7).

【解析】試題分析:(1)將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,即可求出b、c的值,通過配方法即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)M是沿著對稱軸直線x=1向下平移的,可先求出直線AC的解析式,將x=1代入求出點(diǎn)M在向下平移時與AC、AB相交時y的值,即可得到m的取值范圍;

(3)由題意分析可得∠MCP=90°,則若△PCM與△BCD相似,則要進(jìn)行分類討論,分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB兩種,然后利用邊的對應(yīng)比值求出點(diǎn)坐標(biāo)

試題解析:(1)把點(diǎn)A(3,1),點(diǎn)C(0,4)代入二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c得,

解得

∴二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+2x+4,配方得y=﹣(x﹣1)2+5,

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,5);

(2)設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,把點(diǎn)A(3,1),C(0,4)代入得,

解得

∴直線AC的解析式為y=﹣x+4,

如圖所示,對稱軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F

把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=﹣x+4解得y=3,則點(diǎn)E坐標(biāo)為(1,3),點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,1)

∴1<5﹣m<3,解得2<m<4;

(3)所有符合題意得點(diǎn)P坐標(biāo)有4個,分別為P1),P2, ,P3(3,1),P4(﹣3,7).

附解答過程,不必寫過程。

連接MC,作MG⊥y軸并延長交AC于點(diǎn)N,則點(diǎn)G坐標(biāo)為(0,5)

∵M(jìn)G=1,GC=5﹣4=1

∴MC= = = ,

把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1,則點(diǎn)N坐標(biāo)為(﹣1,5),

∵NG=GC,GM=GC,

∴∠NCG=∠GCM=45°,

∴∠NCM=90°,

由此可知,若點(diǎn)P在AC上,則∠MCP=90°,則點(diǎn)D與點(diǎn)C必為相似三角形對應(yīng)點(diǎn)

①若有△PCM∽△BDC,則有

∵BD=1,CD=3,

∴CP= = = ,

∵CD=DA=3,

∴∠DCA=45°,

若點(diǎn)P在y軸右側(cè),作PH⊥y軸,

∵∠PCH=45°,CP=

∴PH= =

把x= 代入y=﹣x+4,解得y= ,

∴P1);

同理可得,若點(diǎn)P在y軸左側(cè),則把x=﹣ 代入y=﹣x+4,解得y=

∴P2, );

②若有△PCM∽△CDB,則有

∴CP= =3

∴PH=3 ÷ =3,

若點(diǎn)P在y軸右側(cè),把x=3代入y=﹣x+4,解得y=1;

若點(diǎn)P在y軸左側(cè),把x=﹣3代入y=﹣x+4,解得y=7

∴P3(3,1);P4(﹣3,7).

∴所有符合題意得點(diǎn)P坐標(biāo)有4個,分別為P1),P2, ,P3(3,1),P4(﹣3,7).

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