【題目】如圖①,在等腰ABCADE中,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=DAE=120°.

(1)求證:ABD≌△ACE;

(2)把ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置,連接CD,點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn),連接MN、PN、PM,判斷PMN的形狀,并說明理由;

(3)在(2)中,把ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=6,請分別求出PMN周長的最小值與最大值.

【答案】(1)證明見解析;(2)PMN是等邊三角形.理由見解析;(3)PMN周長的最小值為3,最大值為15.

【解析】

(1)由∠BAC=∠DAE=120°,可得∠BAD=∠CAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定△ABD≌△ADE;(2)△PMN是等邊三角形,利用三角形的中位線定理可得PM=CE,PM∥CE,PN=BD,PN∥BD,(1)的方法可得BD=CE,即可得PM=PN,所以△PMN是等腰三角形;再由PM∥CE,PN∥BD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPM=∠DCE,∠PNC=∠DBC,因?yàn)?/span>∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC, 所以∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,再由∠BAC=120°,可得∠ACB+∠ABC=60°,即可得∠MPN=60°,所以△PMN是等邊三角形;(3)由(2)知,△PMN是等邊三角形,PM=PN=BD,所以當(dāng)PM最大時(shí),△PMN周長最大,當(dāng)點(diǎn)DAB上時(shí),BD最小,PM最小,求得此時(shí)BD的長,即可得△PMN周長的最小值;當(dāng)點(diǎn)DBA延長線上時(shí),BD最大,PM的值最大,此時(shí)求得△PMN周長的最大值即可.

(1)因?yàn)?/span>∠BAC=∠DAE=120°,

所以∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE,

所以△ABD≌△ADE;

(2)△PMN是等邊三角形。

理由:點(diǎn)P,M分別是CD,DE的中點(diǎn),

∴PM=CE,PM∥CE,

點(diǎn)N,M分別是BC,DE的中點(diǎn),

∴PN=BD,PN∥BD,

(1)的方法可得BD=CE,

∴PM=PN,

∴△PMN是等腰三角形,

∵PM∥CE,∴∠DPM=∠DCE,

∵PN∥BD,∴∠PNC=∠DBC,

∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC

=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,

∵∠BAC=120°,∴∠ACB+∠ABC=60°,

∴∠MPN=60°,

∴△PMN是等邊三角形。

(3)由(2)知,△PMN是等邊三角形,PM=PN=BD,

∴PM最大時(shí),△PMN周長最大,

點(diǎn)DAB上時(shí),BD最小,PM最小,

∴BD=AB-AD=2,△PMN周長的最小值為3;

點(diǎn)DBA延長線上時(shí),BD最大,PM最大,

∴BD=AB+AD=10,△PMN周長的最大值為15。

故答案為:△PMN周長的最小值為3,最大值為15

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我們知道:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地,我們定義:至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.

1請寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱;

2如圖,在中,點(diǎn)分別在上,設(shè)相交于點(diǎn),若.請你寫出圖中一個(gè)與相等的角,并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對邊四邊形;

3中,如果是不等于的銳角,點(diǎn)分別在上,且.探究:滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形,并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】綜合與探究

如圖1,拋物線y=ax2+bx+2x軸交于A(﹣1,0),B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.D為坐標(biāo)平面第四象限內(nèi)一點(diǎn),且使得△ABD△ABC全等.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo),并判斷四邊形ACBD的形狀.

(3)如圖2,將△ABD沿y軸的正方形以每秒1個(gè)單位長度的速度平移,得到△A′B′D′,A′B′BC交于點(diǎn)E,A′D′AB交于點(diǎn)F.連接EF,AB′,EFAB′交于點(diǎn)G.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(0≤t≤2)秒.

當(dāng)直線EF經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)T時(shí),請求出此時(shí)t的值;

請直接寫出點(diǎn)G經(jīng)過的路徑的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0,﹣1),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B,與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為C(4,n).

(1)求n的值和拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)D在拋物線上,DEy軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0t4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;

(3)將AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請直接寫出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,小麗為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度,站在教學(xué)樓的C處測得旗桿底端B的俯角為45°,測得旗桿頂端A的仰角為30°.已知旗桿與教學(xué)樓的距離BD=9m,請你幫她求出旗桿的高度(結(jié)果保留根號(hào)).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,等邊

1)如圖(1),若,現(xiàn)有兩點(diǎn)分別從點(diǎn)、點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿三角形的邊順時(shí)針運(yùn)動(dòng),已知點(diǎn)的速度為,點(diǎn)的速度為.當(dāng)點(diǎn)第一次到達(dá)點(diǎn)時(shí),同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn),運(yùn)動(dòng)______秒后,為等腰三角形.

2)如圖,點(diǎn)位于等邊的內(nèi)部,且.將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

依題意,補(bǔ)全圖形;

,求的面積比.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù) y kx b 的圖象與 x 軸交點(diǎn)為 A3, 0,與 y 軸交點(diǎn)為 B ,且與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Cm,4.

1)求點(diǎn)C 的坐標(biāo);

2)求一次函數(shù) y kx b 的表達(dá)式;

3)若點(diǎn) P y 軸上一點(diǎn),且BPC 的面積為 6,請直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,BCAC=6,以BC為直徑的O與邊AB相交于點(diǎn)DDEAC,垂足為點(diǎn)E

(1)求證:點(diǎn)DAB的中點(diǎn);

(2)求點(diǎn)O到直線DE的距離.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】拋物線y=ax2+bx+c(a0)過點(diǎn)A(1,﹣3)、B(3,﹣3)、C(﹣1,5),頂點(diǎn)為M點(diǎn).在拋物線上是找一點(diǎn)P使∠POM=90°,則P點(diǎn)的坐標(biāo)_____

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