Question

【題目】如圖1，直線(xiàn)y＝﹣x+4與坐標(biāo)軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，在第一象限內(nèi)，以線(xiàn)段AB為邊向外作正方形ABCD，過(guò)A、C點(diǎn)作直線(xiàn)AC．

（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)是　 　，正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于　 　；

（2）求直線(xiàn)AC的函數(shù)解析式；

（3）如圖2，有一動(dòng)點(diǎn)M從B出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），連接AM，當(dāng)t為何值時(shí)，則AM平分∠BAC？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（3，0），5；（2）y＝7x﹣21；（3）t為5﹣5時(shí)，AM平分∠BAC．

【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△AOB≌△BNC，得出BN＝OA＝3，CN＝OB＝4，即可求出點(diǎn)C縱坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（3）先判斷出MF＝CF，用CM＝BM建立方程即可得出結(jié)論；

解：

（1）∵直線(xiàn)y＝與坐標(biāo)軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，

令x＝0，則y＝4，

∴B（0，4），

令y＝0，則0＝，

∴x＝3，

∴A（3，0），

∴AB＝＝5，

故答案為：（3，0），5；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥OB于N，

∴∠CBN+∠BCN＝90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠OBA+∠CBN＝90°，

∴∠OBA＝∠BCN，

在△AOB和△BNC中，

，

∴△AOB≌△BNC（AAS），

∴CN＝OB＝4，BN＝OA＝3，

∴ON＝OB+BN＝7，

∴C（4，7），

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx+b，

∵A（3，0），

∴，

∴；

∴直線(xiàn)AC的解析式為y＝7x﹣21；

（3）如圖2，過(guò)M作MF⊥AC

當(dāng)AM為∠BAC的角平分線(xiàn)時(shí)，

∵MF⊥AC，MB⊥AB

∴BM＝FM

∵∠MCF＝45°，

∴MF＝CF

設(shè)BM＝x，則CM＝5﹣x，

則CM＝MF＝BM，

∴5﹣x＝x，

∴（+1）x＝5，

∴x＝，

∴t為時(shí)，AM平分∠BAC．