Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)．

（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；

（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小時(shí)，求△ABP的面積；

（3）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣；（2）；（3）符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，﹣）、（2+，）或（2﹣，）．

【解析】分析：(1)、利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(2)、連接BC，求出BC的函數(shù)解析式，直線(xiàn)BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P；(3)、分兩種情況求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，即點(diǎn)N在x軸下方和點(diǎn)N在x軸上方，根據(jù)兩種情況分別畫(huà)出圖形，從而得出答案．

詳解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入y=ax2+bx﹣，

得到，解得：， 即拋物線(xiàn)的解析式為y=x2﹣2x﹣；

（2）∵拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2﹣2x﹣， ∴其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣=2，

連接BC，如圖1所示， ∵B（5，0），C（0，﹣）， ∴設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴，解得， ∴直線(xiàn)BC的解析式為y=x﹣，

當(dāng)x=2時(shí)，y=1﹣=﹣， ∴P（2，﹣）， S△ABP=×6×=；

（3）存在，如圖2所示，

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)， ∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，C（0，﹣）， ∴N1（4，﹣）；

②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作ND垂直x軸于點(diǎn)D， 在△AND與△MCO中，

∠NAD=∠CMO，AN=CM, ∠AND=∠MCO， ∴△AND≌△MCO（ASA），

∴ND=OC=，即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， ∴x2﹣2x﹣=， 解得：x=2±，

∴N2（2+，），N3（2﹣，），

綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，﹣）、（2+，）或（2﹣，）．