Question

正三角形網(wǎng)格中每個小正三角形面積為1，小正三角形的頂點為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形，設格點多邊形各邊上的格點的個數(shù)和為a，格點邊多邊形內(nèi)部的格點個數(shù)和為b，格點多邊形的面積為S，圖l、圖2是兩個格點多邊形．
（1）根據(jù)圖中提供的信息填表：

一般格點多邊形	a	b	a+2b	S
多邊形1（圖1）	6	1
多邊形2（圖2）	7	2	11
…	…	…	…	…

（2）在給定的正三角形網(wǎng)格中分別畫出一個面積為3、4、5的格點多邊形：
（3）猜想S與a、b之間的關系：S=

 

（用含a、b的代數(shù)式表示）；
（4）若一個格點多邊形的面積為S，b是否存在最大值和最小值？若存在求出最大值和最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)值，通過圖形填出答案即可；
（2）由數(shù)值和圖形直接畫出即可；
（3）由（1）（2）的計算方法得出一般規(guī)律即可；
（4）因為2b+2為偶數(shù)，則a和s同奇或同偶，題目問b是否為最大值或最小值，顯然，取一行平行四邊形來觀察，不管S取什么值時，存在最小值b=0，接下來討論b的最大值，從s=a+2b-2得出，a值得取最小值．因為S值可以奇數(shù)也可以取偶數(shù)，所以a的最小值就有兩種情況：①當a為奇數(shù)時； ②當a為偶數(shù)時；分別把a值代入公式s=a+2b，得出答案即可．

解答：解：（1）答案如下：

一般格點多邊形	a	b	a+2b	S
多邊形1（圖1）	6	1	8	6
多邊形2（圖2）	7	2	11	9
…	…	…	…	…

（2）畫圖如下：


（3）因為6=8-2=6+2×1-2，
9=11-2=7+2×2-2，
…
所以S與a、b之間的關系：S=a+2（b-1）；

（4）因為2b+2為偶數(shù)，則a和S同奇或同偶，如圖所示，題目問b是否為最大值或最小值，顯然，取一行平行四邊形來觀察，不管S取什么值時，存在最小值b=0，接下來討論 b的最大值，從s=a+2b-2得出，a值得取最小值．因為S值可以奇數(shù)也可以取偶數(shù)，所以a的最小值就有兩種情況：
①當a為奇數(shù)時，最小值a=3                        
②當a為偶數(shù)時，最小值a=4．
分別把a值代入公式s=a+2b，得最大值b=

1

2

（s-1）或最大值b=

1

2

s-1．

點評：考查了作圖-應用與設計作圖．此題需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù)，總結出規(guī)律．尋找規(guī)律是一件比較困難的活動，需要仔細觀察和大量的驗算．