【題目】拋物線y=x2+bx+cx軸分別交于點AB,與y軸交于點C,A點坐標為(-1,0),B點坐標為(3,0),頂點為D

1)求拋物線解析式;

2)若點M在拋物線的對稱軸上,求ACM周長的最小值;

3)以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點,且與直線CD相切,求點P的坐標.

【答案】1y=x2-2x-3;(2)△ACM周長的最小值為3+;(3)點P的坐標為(1,4+2)或(1,4-2).

【解析】

1)根據(jù)點A,B的坐標,利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式;

2)連接BC,交拋物線對稱軸于點M,此時AM+CM取得最小值,最小值為BC的長度,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標,根據(jù)點BC的坐標,利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式,代入x=1即可求出點M的坐標,利用兩點間的距離公式可求出BC,AC的長度,進而可得出ACM周長的最小值;

3)過點PPECD,垂足為點E,則PDE為等腰直角三角形,進而可得出PE=PD,設點P的坐標為(1m),由PA=PE可得出關(guān)于m的方程,解之即可得出點P的坐標.

1)將A-1,0),B30)代入y=x2+bx+c,得:

,解得:,

∴拋物線解析式為y=x2-2x-3

2)連接BC,交拋物線對稱軸于點M,此時AM+CM取得最小值,最小值為BC的長度,如圖1所示,

x=0時,y=x2-2x-3=-3,

∴點C的坐標為(0-3).

設直線BC的解析式為y=kx+ak≠0),

B30),C0,-3)代入y=kx+a,得:

,解得:,

∴直線BC的解析式為y=x-3

y=x2-2x-3=x-12-4,

∴拋物線的對稱軸為直線x=1,頂點D的坐標為(1,-4).

x=1時,y=x-3=-2

∴當點M的坐標為(1,-2)時,AM+CM取得最小值,最小值BC==3

∵點A的坐標為(-1,0),點C的坐標為(0-3),

AC==

∴△ACM周長的最小值為3+

3)過點PPECD,垂足為點E,如圖2所示.

∵以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點,

∴點P在直線x=1上.

∵點C的坐標為(0-3),點D的坐標為(1,-4),

∴直線CD的解析式為y=-x-3,

∴∠PDE=45°,

∴△PDE為等腰直角三角形,

PE=PD

設點P的坐標為(1,m).

PA=PE,

=m+4),

整理,得:m2-8m-8=0,

解得:m1=4+2,m2=4-2,

∴點P的坐標為(1,4+2)或(1,4-2).

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