Question

圖1是兩個(gè)正方形紙片ABCD和CEFG疊放在一起，分別以BC邊所在直線和BC邊的中垂線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，其中B（﹣2，0），E（2，），C（2，0），固定正方形ABCD，直線L經(jīng)過(guò)AC兩點(diǎn)；將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到正方形CE₁F₁G₁．
（1）在圖2中求點(diǎn)E₁的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)E₁與直線L的位置關(guān)系．
（2）利用（1）的結(jié)論，將圖2中的正方形CE₁F₁G₁在射線CA上沿著CA方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，平移后的正方形CE₁F₁G₁設(shè)為正方形PQRH（圖3），當(dāng)點(diǎn)R移動(dòng)到點(diǎn)A停止，設(shè)正方形PQRH移動(dòng)的時(shí)間為t秒，正方形PQRH與正方形ABCD重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，如果S=1時(shí)，過(guò)BP的直線為m，M點(diǎn)為直線m上的動(dòng)點(diǎn)，N為直線L上的動(dòng)點(diǎn)，那么是否存在平行四邊形MNBC，如果存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由E點(diǎn)坐標(biāo)可知正方形CEFG邊長(zhǎng)為，
那么其對(duì)角線CF長(zhǎng)度為2，
正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135° 后，
CE與x軸夾角為45°，
C坐標(biāo)為（2，0），
那么E₁坐標(biāo)為（3，﹣1），E₁在直線L上；
（2）當(dāng)0≤t≤時(shí)，S=t²；
當(dāng)<t≤2時(shí)，S=﹣t²+2t﹣2；
當(dāng)2<t≤3時(shí)，S=2；
當(dāng)3<t≤4時(shí) S=﹣t²+3t﹣7；
當(dāng)4<t≤5時(shí)，S=t²﹣5t+25；
（3）S=1時(shí)，當(dāng)t≤時(shí)，t²=1，解得：t=；
當(dāng)<t≤2時(shí)，2﹣（2﹣t）²=1，解得：t=或3（舍去）；
當(dāng)2<t≤4時(shí)，（4﹣t）²=1，解得：t=3或5（5不合題意，舍去）．
則t=或3．
①當(dāng)t=時(shí)，那么P位于CD中點(diǎn)處，P的坐標(biāo)是：（2，2），
設(shè)直線m的解析式是y=kx+b，
則，解得：，
則直線m表達(dá)式y(tǒng)=x+1，直線L表達(dá)式y(tǒng)=﹣x+2，
設(shè)MN的縱坐標(biāo)是a，
則在y=x+1中，令y=a，解得：x=2（a﹣1），
則M的橫坐標(biāo)是2（a﹣1）；
在y=﹣x+2中，令y=a，則x=2﹣a，
即N的橫坐標(biāo)是：（2﹣a）．
∵BC=4，
則：2（a﹣1）﹣（2﹣a）=4，解得：a=，
把y=代入y=x+1中，解得：x=．
則M的坐標(biāo)為；
②當(dāng)t=3時(shí)，P是AD與y軸的交點(diǎn)，則P的坐標(biāo)是：（0，4）．
設(shè)直線m的解析式是y=kx+b，
則，解得：，
則m的解析式是：y=2x+4．
同①方法相同，設(shè)MN的縱坐標(biāo)是a，
則在y=2x+4中，令y=a，解得：x=（a﹣4），
則M的橫坐標(biāo)是（a﹣1）；
在y=﹣x+2中，令y=a，則x=2﹣a，
即N的橫坐標(biāo)是：（2﹣a）．
根據(jù)BC=4，則：（a﹣4）﹣（2﹣a）=4，
解得：a=，把y=代入y=2x+4中，解得x=．
則M的坐標(biāo)是：（，）．
故M的坐標(biāo)是：（，）或（，）．