Question

圖1是兩個正方形紙片ABCD和CEFG疊放在一起，分別以BC邊所在直線和BC邊的中垂線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，其中B（-2，0），E（2，

2

），C（2，0），固定正方形ABCD，直線L經(jīng)過AC兩點(diǎn)；將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到正方形CE₁F₁G₁，
（1）在圖2中求點(diǎn)E₁的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)E₁與直線L的位置關(guān)系．
（2）利用（1）的結(jié)論，將圖2中的正方形CE₁F₁G₁在射線CA上沿著CA方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的正方形CE₁F₁G₁設(shè)為正方形PQRH（圖3），當(dāng)點(diǎn)R移動到點(diǎn)A停止，設(shè)正方形PQRH移動的時(shí)間為t秒，正方形PQRH與正方形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，如果S=1時(shí)，過BP的直線為m，M點(diǎn)為直線m上的動點(diǎn)，N為直線L上的動點(diǎn)，那么是否存在平行四邊形MNBC，如果存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）CEFG是邊長是

2

的正方形，則△CE₁F₁是等腰直角三角形，直角邊長是

2

，則E₁的坐標(biāo)即可求解，E₁與AC在一條直線上；
（2）分0≤t≤

2

，當(dāng)

2

＜t≤2

2

，2

2

＜t≤3

2

，3

2

＜t≤4

2

，4

2

＜t≤5

2

五種情況利用三角形的面積公式即可求解；
（3）在（2）中所求的解析式中，利用S=1，即可求得t的值，從而確定P的坐標(biāo)，則直線m，l的解析式即可求得，四邊形MNBC是平行四邊形時(shí)，M、N的縱坐標(biāo)一定相等，橫坐標(biāo)的差等于BC的長，據(jù)此即可得到一個關(guān)于縱坐標(biāo)的方程，解方程即可求得M、N的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到坐標(biāo)．

解答：解：（1）由E點(diǎn)坐標(biāo)可知正方形?CEFG邊長

2

，那么其對角線CF長度為2，
正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135° 后CE與x軸夾角為45°，
C坐標(biāo)（2，0），那么E₁坐標(biāo)為（3，-1），E₁ 在直線L上．

（2）當(dāng)0≤t≤

2

時(shí)，S=

1

2

t²；
當(dāng)

2

＜t≤2

2

時(shí)，S=-

1

2

t²+2

2

t-2；
當(dāng)2

2

＜t≤3

2

時(shí)，S=2；
當(dāng)3

2

＜t≤4

2

時(shí) S=-

1

2

t²+3

2

t-7；
當(dāng)4

2

＜t≤5

2

時(shí)，S=

1

2

t²-5

2

t+25；

（3）S=1時(shí)，當(dāng)t≤

2

  時(shí)，解

1

2

t²=1，解得：t=

2

；
當(dāng)

2

＜t≤2

2

時(shí)，解2-

1

2

（2

2

-t）²=1，解得：t=

2

或3

2

，（舍去）；
當(dāng)2

2

＜t≤4

2

時(shí)，解

1

2

（4

2

-t）²=1，解得：t=3

2

或5

2

（5

2

不合題意，舍去）．
則t=

2

或3

2

．
1）當(dāng)t=

2

時(shí)，那么P位于CD中點(diǎn)處，P的坐標(biāo)是：（2，2），設(shè)直線m的解析式是y=kx+b，
則

2k+b=2 -2k+b=0

，
解得：

k= 1 2 b=1

則直線m表達(dá)式y=

1

2

x+1，
直線L表達(dá)式y(tǒng)=-x+2
設(shè)MN的縱坐標(biāo)是a，則
在y=

1

2

x+1中，令y=a，解得：x=2（a-1），則M的橫坐標(biāo)是2（a-1）；
在y=-x+2中，令y=a，則x=2-a，即N的橫坐標(biāo)是：（2-a）．
根據(jù)BC=4，則：2（a-1）-（2-a）=4，解得：a=

8

3

，
把y=

8

3

代入y=

1

2

x+1中，解得：x=

10

3

．
則M的坐標(biāo)為(

10

3

，

8

3

)．
2）當(dāng)t=3

2

時(shí)，P是AD與y軸的交點(diǎn)，則P的坐標(biāo)是：（0，4）．
設(shè)直線m的解析式是y=kx+b，
則

-2k+b=0 b=4

，
解得：

k=2 b=4

，
則m的解析式是：y=2x+4．
同1）方法相同，設(shè)MN的縱坐標(biāo)是a，則
在y=2x+4中，令y=a，解得：x=

1

2

（a-4），則M的橫坐標(biāo)是

1

2

（a-1）；
在y=-x+2中，令y=a，則x=2-a，即N的橫坐標(biāo)是：（2-a）．
根據(jù)BC=4，則：

1

2

（a-4）-（2-a）=4，解得：a=

16

3

，
把y=

16

3

代入y=2x+4中，解得x=-

2

3

．
則M的坐標(biāo)是：（-

2

3

，

20

3

）．
故M的坐標(biāo)是：（

10

3

，

8

3

）或（-

2

3

，

20

3

）

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)與平行四邊形的綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意到M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等是解題的關(guān)鍵．