Question

【題目】

如圖①，在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖①所示，其中，DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD，ME，MF，MG．則下列結(jié)論正確的是__________（填寫序號(hào)）

①四邊形AFMG是菱形；②△DFM和△EGM都是等腰三角形；③MD=ME；④MD⊥ME．

（2）數(shù)學(xué)思考：

如圖②，在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過程．

（3）類比探究：如圖③Rt△ABC中，斜邊BC=10，AB=6，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABD和ACE，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①②③④；（2）證明見解析；（3）DE的長(zhǎng)為：或,.

【解析】

試題分析：（1）由條件可以通過三角形全等和軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓即可得出結(jié)論；

（2）取AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得出△DFM≌△MGE，根據(jù)其性質(zhì)以及各個(gè)角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；

（3）分四種情況，①等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC外側(cè)，②等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC內(nèi)側(cè)，③等腰直角三角形ABD和ACE一個(gè)Rt△ABC外側(cè)，④等腰直角三角形ABD和ACE,一個(gè)在Rt△ABC外側(cè)，一個(gè)在等腰直角三角形ABD和ACE都在Rt△ABC內(nèi)側(cè)分別求出DE的長(zhǎng)度即可．

試題解析：（1）∵和是等腰直角三角形，

∵在和中，

于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，

∴和都是等腰三角形，故②正確； ∵M是BC的中點(diǎn)，∴ ∴

即在和中，故③正確；連接AM、FM、GM，如圖1所示：

M是BC的中點(diǎn)，

∴四邊形AFMG是菱形，故①正確；M是BC的中點(diǎn)，∴四邊形ADBM四點(diǎn)共圓，∵AM是對(duì)稱軸,

故④正確，故答案為：①②③④；

（2）理由如下：取AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，如圖2所示：

∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，

∵M是BC的中點(diǎn)，∴四邊形AFMG是平行四邊形，

∵在和中，

,

(3)中，斜邊BC=10，AB=6，∴AC=8，和是等腰直角三角形，

分四種情況，①如圖3，和是等腰直角三角形，

∴D，A，E三點(diǎn)共線，②如圖4，和是等腰直角三角形，∴點(diǎn)A，D，E共線，③如圖5，和是等腰直角三角形，

④如圖6，和是等腰直角三角形，綜上所述：DE的長(zhǎng)為：或,.