Question

如圖所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，N、M分別為AC、BD的中點(diǎn)，
求證：（1）MN∥BC；（2）MN=

1

2

（BC-AD）．

Answer 1

分析：（1）取AB中點(diǎn)P，連MP，NP，證N、M、P三點(diǎn)共線即可；
（2）連接AM并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)G，證明△AMD≌△GMB，根據(jù)中位線定理即可證明；

解答：證明：
（1）取AB中點(diǎn)P，連MP，NP，
∵M(jìn)為BD的中點(diǎn)，
∴PM∥AD，
同理NP∥BC，
∵AD∥BC，
∴N、M、P三點(diǎn)共線，
∴MN∥BC．

（2）法一：∵M(jìn)N∥BC，N、M分別為AC、BD的中點(diǎn)，
∴P是AB的中點(diǎn)，
∴PN=

1

2

BC，PM=

1

2

AD，
∴MN=

1

2

（BC-AD）．

法二：如圖所示，連接AM并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)G．
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠GBM，∠MAD=∠MGB，
又∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，
∴△AMD≌△GMB．
∴BG=AD，AM=MG．
在△AGC中，MN為中位線，
∴MN=

1

2

GC=

1

2

（BC-BG）=

1

2

（BC-AD），
即MN=

1

2

（BC-AD）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形及三角形中位線定理，難度較大，關(guān)鍵是通過巧妙地作輔助線進(jìn)行證明．