Question

【題目】如圖，和是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，，的頂點(diǎn)E與的斜邊BC的中點(diǎn)重合將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q．

如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且時(shí)，和的形狀有什么關(guān)系，請(qǐng)證明；

如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，和有什么關(guān)系，說(shuō)明理由；

當(dāng)，時(shí)，求P、Q兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∽．理由見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）依據(jù)△ABC是等腰直角三角形，E是BC的中點(diǎn)，運(yùn)用SAS即可判定△BPE≌△CQE；

（2）依據(jù)∠B=∠C=∠DEF=45°，即可得到∠BEP=∠EQC，再根據(jù)∠B=∠C，即可判定△BPE∽△CEQ；

（3）先根據(jù)△BPE∽△CEQ，得到=，進(jìn)而得到BE=CE=，BC=，最后根據(jù)勾股定理，求得△APQ中，PQ=.

≌．

理由是等腰直角三角形，

，，

，

，

是BC的中點(diǎn)，

，

在和中，

，

≌；

∽．

理由：和是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，

，

，

即，

，

，

，

∽；

如圖，連結(jié)PQ，

∽，

，

，，，

，

，

，

在中，，

，

，，

在中，．