Question

已知：△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+p=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且p，k的函數(shù)關(guān)系如圖所示，第三邊BC的長為5．
（1）求出以k為自變量的p的函數(shù)關(guān)系式．
（2）k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．

Answer 1

分析：（1）觀察圖象可知p，k是二次函數(shù)關(guān)系，又由p，k的函數(shù)圖象過點(diǎn)（-1，0），（-2，0），可設(shè)兩點(diǎn)式p=a（k+1）（k+2），然后由p，k的函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，2），由待定系數(shù)法即可求得以k為自變量的p的函數(shù)關(guān)系式．
（2）由△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，根據(jù)勾股定理可得AB²+AC²=25，又由AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+p=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，則可求得方程（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）p，k的函數(shù)圖象過點(diǎn)（-1，0），（-2，0），
∴設(shè)p=a（k+1）（k+2），
∵p，k的函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，2），
∴2a=2，
∴a=1，
∴p=（k+1）（k+2）=k²+3k+2，
∴以k為自變量的p的函數(shù)關(guān)系式為：p=k²+3k+2；   

（2）∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，BC=5，
∴AB²+AC²=25，
∵AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）+k²+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
∴AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC，
即（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
解得k=2或-5；
∵AB+AC=2k+3＞0，
∴k=-5（舍去）
∴k=2．
∴k為2時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．