Question

小冬遇到一個有趣的問題：長方形臺球桌ABCD的邊長分別為AB=3，BC=5．點(diǎn)P在AD上，且AP=2．一球從點(diǎn)P處沿與AD夾角為θ的方向擊出，分別撞擊AB、BC、CD各一次后到達(dá)點(diǎn)P₀．每次撞擊桌邊時，撞擊前后的路線與桌邊所成的角相等（入射角等于反射角）．如圖①所示．
小冬的思考是這樣開始的：如圖②，將矩形ABCD沿直線AB折疊，得到矩形ABC₁D₁，由軸對稱的知識，發(fā)現(xiàn)QE=QR，PE=PQ+QR．請你參考小冬的思路或想出自己的方法解決下列問題：
（1）點(diǎn)P₀與點(diǎn)A重合時，此球所經(jīng)過的路線總長度是

 

．
（2）當(dāng)點(diǎn)P₀落在線段AP上時（如圖③），求tanθ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得到∠HQA=∠HAQ，∠HPA=∠HAP，推出△RCS∽△PAQ，得出比例式，求出CR，根據(jù)勾股定理求出PE即可．
（2）由（1）得出tanθ=

1

2

，即可得出答案．

解答：解：（1）AS交PQ于H，
根據(jù)入射角等于反射角得到∠HQA=∠HAQ，∠HPA=∠HAP，
∴PQ=2HP=2HQ=2SR，
∵∠C=∠A=90°，∠CRS=∠QPA，
∴△RCS∽△PAQ，
∴

AP

CR

=

PQ

SR

=2，
∵PA=2，
∴CR=1，
EC₂=1，
由勾股定理得：PE=

(2-1+5)2+32

=3

5

，
同理：SR+AS=

(5+1)2+32

=3

5

，
∴3

5

+3

5

=6

5

，
故答案為：6

5

．

（2）由（1）知：BR=5-1=4，
∴

AQ

BQ

=

AP

BR

=

1

2

，
∵AB=3，
∴AQ=1，
∴tanθ=

AQ

AP

=

1

2

，
當(dāng)P₀在P點(diǎn)上時，tanθ=

3

5

，
∴當(dāng)點(diǎn)P₀落在線段AP上時，tanθ的取值范圍是

1

2

≤tanθ≤

3

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查對勾股定理，矩形的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，解直角三角形，翻折變換等知識點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．