Question

小冬遇到一個有趣的問題：長方形臺球桌ABCD的邊長分別為AB=3，BC=5．點P在AD上，且AP=2．一球從點P處沿與AD夾角為的方向擊出，分別撞擊AB、BC、CD各一次后到達點P₀．每次撞擊桌邊時，撞擊前后的路線與桌邊所成的角相等（入射角等于反射角）．如圖①所示．小冬的思考是這樣開始的：如圖②，將矩形ABCD沿直線AB折疊，得到矩形ABC₁D₁，由軸對稱的知識，發(fā)現QE=QR，PE=PQ+QR．

請你參考小冬的思路或想出自己的方法解決下列問題：
（1）當點P₀與點P重合時，此球所經過的路線總長度

2

34

；
（2）當點P₀與點A重合時（如圖③），求此球所經過的路線總長度；
（3）當點P₀落在線段AP上時，求tanθ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將矩形ABCD沿CD翻折，找到點R關于CD的對稱點R'，連接R'P，過點P作PF⊥BC于點F，根據反射角等于入射角，可判斷△PER'是等腰三角形，求出PE的長度，即可確定球經過的路線總長度．
（2）將矩形ABCD沿CD翻折，找到點R關于CD的對稱點R'，連接R'P，過點M作MN⊥AD于點N，根據

AP

ER′

=

PM

ME

=

2

10

=

1

5

，得出

PM

PE

=

MN

EF

=

1

6

，再由EF=3，求出MN，在Rt△PMN中利用勾股定理求出PM，繼而可得出PE，也可得出此球運動的路線長；
（3）根據（1）（2）分別確定tanθ的值，繼而可確定當點P₀落在線段AP上時，tanθ的取值范圍．

解答：解：（1）如圖，

將矩形ABCD沿CD翻折，找到點R關于CD的對稱點R'，連接R'P，過點P作PF⊥BC于點F，如圖1所示：
由題意可得，CR=CR'，BR=BE，
∴ER'=2BC=10，
由入射角等于反射角，易得RQ∥PR'，
∴∠ER'P=∠ERQ，
由折疊的性質可得：∠ERQ=∠REQ，
∴∠ER'Q=∠REQ，
∴△PER'是等腰三角形，
∴EF=

1

2

ER'=5，
在Rt△EPF中，EP=

PF2+EF2

=

34

，
∴當點P₀與點P重合時，此球所經過的路線總長度=EP+PR'=2EP=2

34

；

（2）如圖，

將矩形ABCD沿CD翻折，找到點R關于CD的對稱點R'，連接R'P，過點M作MN⊥AD于點N，如圖2所示：
由題意可得，CR=CR'，BR=BE，
∴ER'=2BC=10，
∵AD∥BC，
∴

AP

ER′

=

PM

ME

=

2

10

=

1

5

，
∴

PM

PE

=

MN

EF

=

1

6

，
∵EF=3，
∴MN=

1

2

，
∴PM=

PN2+MN2

=

5

2

，
∴PE=3

5

，
∴當點P₀與點A重合時，此球所經過的路線總長度=PE+AR'=2PE=6

5

．

（3）由（1）可得，當點P₀與點P重合時，tanθ=

3

5

；
由（2）得，當點P₀與點A重合時，tanθ=

1

2

；
綜上可得當點P₀落在線段AP上時，0.5≤tanθ≤0.6．

點評：本題屬于幾何變換的綜合問題，主要考查對勾股定理，矩形的性質，軸對稱性質，解直角三角形，翻折變換等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，注意題目提示的解題方法．