Question

【題目】如圖，C為射線AB上一點(diǎn)，AB=30，AC比BC的 多5，P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，M為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，以下結(jié)論： ①BC=2AC；②AB=4NQ；③當(dāng)PB= BQ時(shí)，t=12，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】解：設(shè)BC=x， ∴AC= x+5
∵AC+BC=AB
∴x+ x+5=30，
解得：x=20，
∴BC=20，AC=10，
∴BC=2AC，故①成立，
∵AP=2t，BQ=t，
當(dāng)0≤t≤15時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上，
∴BP=AB﹣AP=30﹣2t，
∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)
∴MB= BP=15﹣t
∵QM=MB+BQ，
∴QM=15，
∵N為QM的中點(diǎn)，
∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ，
當(dāng)15＜t≤30時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)P在線段AB外，且點(diǎn)P在Q的左側(cè)，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP﹣AB=2t﹣30，
∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)
∴BM= BP=t﹣15
∵QM=BQ﹣BM=15，
∵N為QM的中點(diǎn)，
∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ，
當(dāng)t＞30時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)P在Q的右側(cè)，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP﹣AB=2t﹣30，
∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)
∴BM= BP=t﹣15
∵QM=BQ﹣BM=15，
∵N為QM的中點(diǎn)，
∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ，
綜上所述，AB=4NQ，故②正確，
當(dāng)0＜t≤15，PB= BQ時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上，
∴AP=2t，BQ=t
∴PB=AB﹣AP=30﹣2t，
∴30﹣2t= t，
∴t=12，
當(dāng)15＜t≤30，PB= BQ時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB外，且點(diǎn)P在Q的左側(cè)，

∴AP=2t，BQ=t，
∴PB=AP﹣AB=2t﹣30，
∴2t﹣30= t，
t=20，
當(dāng)t＞30時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在Q的右側(cè)，

∴AP=2t，BQ=t，
∴PB=AP﹣AB=2t﹣30，
∴2t﹣30= t，
t=20，不符合t＞30，
綜上所述，當(dāng)PB= BQ時(shí)，t=12或20，故③錯(cuò)誤；
故選（C）
根據(jù)AC比BC的 多5可分別求出AC與BC的長度，然后分別求出當(dāng)P與Q重合時(shí)，此時(shí)t=30s，當(dāng)P到達(dá)B時(shí)，此時(shí)t=15s，最后分情況討論點(diǎn)P與Q的位置．