Question

【題目】圖1是一個(gè)高腳杯截面圖，杯體呈拋物線狀（杯體厚度不計(jì)），點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)高腳杯中裝滿液體時(shí)，液面，此時(shí)最大深度（液面到最低點(diǎn)的距離）為，將高腳杯繞點(diǎn)緩緩傾斜倒出部分液體，當(dāng)時(shí)停止，此時(shí)液面為，則液面到平面的距離是________________；此時(shí)杯體內(nèi)液體的最大深度為_____________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作CD的垂線FG，DF繞F旋轉(zhuǎn)后為FP，作PH垂直EF的延長(zhǎng)線于H，利用三角函數(shù)和差公式計(jì)算出，從而求得，進(jìn)而求解.

建立直角坐標(biāo)系，在DG下方的拋物線上任取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作y軸的平行線交DG于點(diǎn)P，過點(diǎn)Q作DG的垂線QM，垂足為M.求出直線DG及拋物線解析式，利用三角形DGQ的面積作為橋梁可求出QM的最大值，即杯體內(nèi)液體的最大深度.

解：如圖：作CD的垂線FG，DF繞F旋轉(zhuǎn)后為FP，作PH垂直EF的延長(zhǎng)線于H，

由題意可知：FG=21，DG=，

所以DF=，

所以

所以＝，

所以=

所以PH=FP==，

液面到平面的距離是；

如圖3，建立直角坐標(biāo)系，在DG下方的拋物線上任取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作y軸的平行線交DG于點(diǎn)P，過點(diǎn)Q作DG的垂線QM，垂足為M，

由題意可知DG繞F點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與水平方向平行，所以旋轉(zhuǎn)前DG與水平方向的夾角為，設(shè)直線DG的解析式為y=kx+b，

由題意可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

，

所以，

設(shè)拋物線的解析式為，經(jīng)過點(diǎn)D，

所以a=1，

所以，

由得點(diǎn)G的坐標(biāo)為，

設(shè)Q的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

所以PQ==，

當(dāng)時(shí)，PQ有最大值為，

又因?yàn)?/span>=，

所以當(dāng)PQ取最大值時(shí)，有最大值=，

=，

又因?yàn)?/span>=，

所以當(dāng)有最大值時(shí)，QM有最大值，

，

所以QM=

所以旋轉(zhuǎn)后杯體內(nèi)液體的最大深度為，

故答案是：；.