Question

如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=

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EC．其中正確結(jié)論的序號(hào)是______．

Answer 1

證明：過P作PG⊥AB于點(diǎn)G，
∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，F(xiàn)P=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
∴AP=EF，故①正確；
延長(zhǎng)AP到EF上于一點(diǎn)H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF，故②正確；
③∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，∠ADP=45度，
∴當(dāng)∠PAD=45度或67.5度或90度時(shí)，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③錯(cuò)誤．
∴∠PFE=∠BAP，故④正確；
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=DF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP²=DF²+PF²=EC²+EC²=2EC²，
∴DP=

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EC，故⑤正確．
∴其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②④⑤．