Question

【題目】如圖，以ABCD的邊BC為直徑的⊙O交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．連結(jié)BF．過點(diǎn)E作EG⊥CD于點(diǎn)G，EG是⊙O的切線．

（1）求證：ABCD是菱形；

（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）如圖，連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥EG，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OE∥CD∥AB，推出AB＝BC，于是得到結(jié)論；

（2）如圖，連接BD，由（1）得，CE：AC＝1：2，得到點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理得到BF⊥CD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DF＝2，BF＝4，由勾股定理即可得到結(jié)論．

（1）證明：如圖，連接OE，

∵EG是⊙O的切線，

∴OE⊥EG，

∵EG⊥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OE∥CD∥AB，

∴∠CEO＝∠CAB，

∵OC＝OE，

∴∠CEO＝∠ECO，

∴∠ACB＝∠CAB，

∴AB＝BC，

∴ABCD是菱形；

（2）如圖，連接BD，

由（1）得，OE∥CD，OC＝OB，

∴AE＝CE，

∴CE：AC＝1：2，

∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD經(jīng)過點(diǎn)E，

∵BC是⊙O的直徑，

∴BF⊥CD，

∵EG⊥CD，

∴EG∥BF，

∴△DGE∽△DFB，

∴DG：DF＝GE：BF＝DE：BD＝1：2，

∴DF＝2，BF＝4，

在Rt△BFC中，設(shè)CF＝x，則BC＝x+2，

由勾股定理得，x2+42＝（x+2）2，

解得：x＝3，

∴CF＝3．