【題目】如圖,在矩形ABCD中,已知AB=2 ,AD=2,點P是對角線BD上一動點(不與B,D重合),連接AP,過點PPEAP,交DC于點E

1)求證:∠PAD=PEC;

2)當(dāng)點PBD的中點時,求DE的值;

3)在點P運動過程中,當(dāng)DE= 時,求BP的值.

【答案】1)見解析;(23

【解析】

1)利用四邊形的內(nèi)角和和三角形外角的性質(zhì)得∠DEP+DAP=180°,∠DEP+PEC=180°,再利用同角的補角相等可得結(jié)論;

2)連接AC,交BDP.先利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠ADB=60°,再利用對角線的性質(zhì)可得PA=PD,故ADP為等邊三角形,則AP=AD=2;然后易證RtADERtAPE,可得∠DAE=PAE=30°,進而在RtADE中利用tanDAE的正切求解即可;

(3)PGABG,GP的延長線交DCH,得四邊形ADGH是矩形,PGDC,則GHBC2;設(shè)PGa,則PHGHPH2a,在RtBGP中利用tanPBG表示出BGAG;然后易證AGP∽△PHE,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于a比例方程并求解,即可利用BP=2PG=2a計算即可.

解:(1)證明:∵PEAP,

∴∠APE=90°,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠ADC=90°,

在四邊形ADEP中∠ADE+DEP+APE+DAP=360°

∴∠DEP+DAP=360°-90°-90°=180°,

又∵∠DEP+PEC=180°,

∴∠PAD=PEC;

2)解:∵四邊形ABCD是矩形,AB=,AD=2,

,

∴∠BDA=60°,

連接AC,

∵點PBD的中點,

∴點PACBD的交點,

∴△ADP為等邊三角形,

AP=AD=2,

RtADERtAPE,

RtADERtAPEHL),

∴∠DAE=PAE=30°

,

3)解:如圖,過點PPGABG,GP的延長線交DCH,四邊形ABCD是矩形,

PGDC,

GHBC2,

設(shè)PGa,則PHGHPH2a,

RtBGP中,tanPBG,

BGPGa,

AGAB-BG2-a2-a),

EH=DH-DE=2-a-=-a,

PGDC,

∴∠APG+EPH90°,

∵∠APG+PAG90°,

∴∠EPH=∠PAG,

∵∠AGP=∠PHE90°,

∴△AGP∽△PHE

,

,

BP=2PG=

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖,在一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤中,指針位置固定,三個扇形的面積都相等,且分別標(biāo)有數(shù)字1,23

1)小明轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字是奇數(shù)的概率為   ;

2)小明先轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,記錄下指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字;接著再轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,再次記錄下指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字,求這兩個數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率(用畫樹狀圖或列表等方法求解).

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【題目】如圖是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,拋物線的頂點坐標(biāo)A(1,3),與x軸的一個交點B(4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點,下列結(jié)論: ①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根;④拋物線與x軸的另一個交點是(﹣1,0);⑤當(dāng)1<x<4時,有y2<y1 ,

其中正確的是________

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【題目】為了解朝陽社區(qū)歲居民最喜歡的支付方式,某興趣小組對社區(qū)內(nèi)該年齡段的部分居民展開了隨機問卷調(diào)查(每人只能選擇其中一項),并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理后繪成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中信息解答下列問題:

(1)求參與問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù).

(2)補全條形統(tǒng)計圖.

(3)該社區(qū)中歲的居民約8000人,估算這些人中最喜歡微信支付方式的人數(shù).

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【題目】ABC中,∠A=60°,∠C=75°AB=8,D、E、F分別在ABBC、CA上,則DEF的周長最小值是____________

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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線yx2+x+3x軸交于A、B兩點(點A在點B的右側(cè)),與y軸交于點C,過點Cx軸的平行線交拋物線于點P.連接AC

1)求點P的坐標(biāo)及直線AC的解析式;

2)如圖2,過點Px軸的垂線,垂足為E,將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OF,旋轉(zhuǎn)角為αα90°),連接FA、FC.求AF+CF的最小值;

3)如圖3,點M為線段OA上一點,以OM為邊在第一象限內(nèi)作正方形OMNG,當(dāng)正方形OMNG的頂點N恰好落在線段AC上時,將正方形OMNG沿x軸向右平移,記平移中的正方形OMNG為正方形OMNG,當(dāng)點M與點A重合時停止平移.設(shè)平移的距離為t,正方形OMNG的邊MNAC交于點R,連接OPOR、PR,是否存在t的值,使OPR為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.

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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的半圓交AC于點D,交BC于點E,延長AE至點F,使EF=AE,連接FBFC

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【題目】隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展,汽車逐漸走入平常百姓家.某數(shù)學(xué)興趣小組隨機抽取了我市某單位部分職工進行調(diào)查,對職工購車情況分4類(A:車價40萬元以上;B:車價在20—40萬元;C:車價在20萬元以下;D:暫時未購車)進行了統(tǒng)計,并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成以下條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.請結(jié)合圖中信息解答下列問題:

1)調(diào)查樣本人數(shù)為__________,樣本中B類人數(shù)百分比是_______,其所在扇形統(tǒng)計圖中的圓心角度數(shù)是________;

2)把條形統(tǒng)計圖補充完整;

3)該單位甲、乙兩個科室中未購車人數(shù)分別為2人和3人,現(xiàn)從中選2人去參觀車展,用列表或畫樹狀圖的方法,求選出的2人來自不同科室的概率.

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