【題目】(2013年四川資陽(yáng)11分)在一個(gè)邊長(zhǎng)為a(單位:cm)的正方形ABCD中,點(diǎn)E、M分別是線段AC,CD上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)DE并延長(zhǎng)交正方形的邊于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DF于H,交AD于N.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合,求證:DF=MN;
(2)如圖2,假設(shè)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā),以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),以cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0);
①判斷命題“當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí),則點(diǎn)M是邊CD的三等分點(diǎn)”的真假,并說(shuō)明理由.
②連結(jié)FM、FN,△MNF能否為等腰三角形?若能,請(qǐng)寫(xiě)出a,t之間的關(guān)系;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】解:(1)證明:∵∠DNC+∠ADF=90°,∠DNC+∠DCN=90°,∴∠ADF=∠DCN。
在△ADF與△DNC中,∵,
∴△ADF≌△DNC(ASA)。∴DF=MN。
(2)①該命題是真命題。理由如下:
當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí),則AF=AB=CD。
∵AB∥CD,∴△AFE∽△CDE,
∴。∴AE=EC,則AE=AC=a。∴。
∴CM=1t=a=CD。
∴點(diǎn)M為邊CD的三等分點(diǎn)
②能。理由如下:
易證AFE∽△CDE,∴,即,得。
易證△MND∽△DFA,∴,即,得ND=t。
∴ND=CM=t,AN=DM=a﹣t。
若△MNF為等腰三角形,則可能有三種情形:
(I)若FN=MN,則由AN=DM知△FAN≌△NDM,
∴AF=DM,即=t,得t=0,不合題意。∴此種情形不存在。
(II)若FN=FM,由MN⊥DF知,HN=HM,∴DN=DM=MC,
∴t=a,此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合。
(III)若FM=MN,顯然此時(shí)點(diǎn)F在BC邊上,如圖所示,
易得△MFC≌△NMD,∴FC=DM=a﹣t。
又由△NDM∽△DCF,∴,即
∴。
∴=a﹣t。
∴t=a,此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合。
綜上所述,當(dāng)t=a或t=a時(shí),△MNF能夠成為等腰三角形。
【解析】(1)證明△ADF≌△DNC,即可得到DF=MN。
(2)①首先證明△AFE∽△CDE,利用比例式求出時(shí)間t=a,進(jìn)而得到CM=a=CD,所以該命題為真命題。
②若△MNF為等腰三角形,則可能有三種情形,需要分類討論。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,設(shè)直線截此三角形所得陰影部分的面積為S,則S與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象為下列選項(xiàng)中的( 。
A. B. C. D.
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【題目】泗縣在省級(jí)文明城市創(chuàng)建中,舉行“小手拉大手,倡導(dǎo)文明新風(fēng)尚”的活動(dòng)中,九年級(jí)的5名同學(xué)(三男兩女)成立了“交通秩序維護(hù)”小分隊(duì),若從該小分隊(duì)中任選兩名同學(xué)進(jìn)行交通秩序維護(hù),則恰是一男一女的概率是多少?請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法說(shuō)明所有可能的結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖反映的過(guò)程是小明從家去食堂吃早餐,接著去圖書(shū)館讀報(bào),然后回家,其中x表示時(shí)間,y表示小明離家的距離,小明家、食堂、圖書(shū)館在同一直線上,根據(jù)圖中提供的信息,下列說(shuō)法正確的是( 。
A.食堂離小明家2.4km
B.小明在圖書(shū)館呆了20min
C.小明從圖書(shū)館回家的平均速度是0.04km/min
D.圖書(shū)館在小明家和食堂之間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中有,為坐標(biāo)原點(diǎn),,將此三角形繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,二次函數(shù)的圖象剛好經(jīng)過(guò)三點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)過(guò)定點(diǎn)的直線與二次函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn).
①若,求的值;
②證明:無(wú)論為何值,恒為直角三角形;
③當(dāng)直線繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),外接圓圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng),直接寫(xiě)出該拋物線的表達(dá)式.
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【題目】為適應(yīng)新中考英語(yǔ)聽(tīng)說(shuō)機(jī)考,九年級(jí)甲、乙兩位同學(xué)使用某手機(jī)軟件進(jìn)行英語(yǔ)聽(tīng)說(shuō)練習(xí)并記錄了40次的練習(xí)成績(jī).甲、乙兩位同學(xué)的練習(xí)成績(jī)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示:
下列說(shuō)法正確的是( 。
A. 甲同學(xué)的練習(xí)成績(jī)的中位數(shù)是38分
B. 乙同學(xué)的練習(xí)成績(jī)的眾數(shù)是15分
C. 甲同學(xué)的練習(xí)成績(jī)比乙同學(xué)的練習(xí)成績(jī)更穩(wěn)定
D. 甲同學(xué)的練習(xí)總成績(jī)比乙同學(xué)的練習(xí)總成績(jī)低
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=2x+2與函數(shù)y=(k≠0)的圖象交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,m).
(1)求k,m的值;
(2)已知點(diǎn)P(a,0),過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線,交直線y=2x+2于點(diǎn)M,交函數(shù)y=(k≠)的圖象于點(diǎn)N.
①當(dāng)a=2時(shí),求線段MN的長(zhǎng);
②若PM>PN,結(jié)合函數(shù)的圖象,直接寫(xiě)出a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,AB=6,AC=8.動(dòng)點(diǎn)E,F同時(shí)分別從點(diǎn)A,B出發(fā),分別沿著射線AC和射線BC的方向均以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),連接EF,以EF為直徑作⊙O交射線BC于點(diǎn)M,連接EM,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(t>0).
(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí),用關(guān)于t的代數(shù)式表示CE= ,CM= .(直接寫(xiě)出結(jié)果)
(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)t為何值時(shí),以點(diǎn)E、F、M為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BD是△ABC的角平分線.
(1)尺規(guī)作圖:作BD的垂直平分線分別交AB,BC于點(diǎn)M,N;(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法)
(2)連接MD,ND,判斷四邊形BMDN的形狀,并說(shuō)明理由.
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